Cho tam giác ABC với trọng tâm G và nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Các đường trung tuyến AA' , BB' , CC ' kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại $A_1, B_1, C_1$. Chứng minh rằng :
$\dfrac {3}{R} \leq \dfrac{1}{GA_1} + \dfrac{1}{GB_1} + \dfrac {1}{GC_1} \leq \sqrt{3} ( \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{BC} + \dfrac{1}{CA} )$
Đặt BC=a,CA=b,AB=c và AA'=$m_{a}$,BB'=$m_{b}$ , CC '=$m_{c}$.
Ta có: ${A}'A.{A}'A_{1}={A}'B.{A}'C{A}\Rightarrow A 'A_{1}=\frac{a^{2}}{4m_{a}}\Rightarrow GA_{1}=GA'+A'A_{1}=\frac{m_{a}}{3}+\frac{a^{2}}{4m_{a}}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{12}}$(Theo AM-GM)$\Rightarrow \frac{1}{GA_{1}}\leq \frac{\sqrt{3}}{a}$
Tương tự đối với$ GB_1,GC_1$.Khi đó: $\dfrac{1}{GA_1} + \dfrac{1}{GB_1} + \dfrac {1}{GC_1} \leq \sqrt{3} ( \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{BC} + \dfrac{1}{CA} )$
Mặt khác:$\frac{GA}{GA_{1}}=\frac{2m_{a}}{3\left ( \frac{m_{a}}{3} +\frac{a^{2}}{4m_{a}}\right )}=\frac{8m_{a}^{2}}{4m_{a}^{2}+3a^{2}}= \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Tương tự đối với $\frac{BG}{GB_{1}},\frac{GC}{GC_{1}}$.Khi đó:
$\frac{GA}{GA_{1}}+\frac{GB}{GB_{1}}+\frac{GC}{GC_{1}}=\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=3$$\Rightarrow\frac{AA_{1}}{GA_{1}}+\frac{BB_{1}}{GB_{1}}+\frac{CC_{1}}{GC_{1}}=6$.Mà $AA_{1};BB_{1};CC_{1}\leq 2R\Rightarrow$$\dfrac {3}{R} \leq \dfrac{1}{GA_1} + \dfrac{1}{GB_1} + \dfrac {1}{GC_1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 15-02-2013 - 23:22
