mọi người có thể tham khảo thêm bài này có phần c/m $KB=KC$
Ê! Toàn ông nhanh thật đấy!
Đây là 1 phần trong chuyên mục thách đấu trận 111 báo toán tuổi thơ số 131(gàn đây )
Đây là nguyên văn đề
Cho tam giác $ABC$ không vuông .$BE,CF$ là các đường cao, trực tâm $H$,$M,N,P,Q,S$ theo thứ tự là trung điểm $BF,CE,BE,,CF,EF$. $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ vuông góc với $BS$ và đương thảng qua $N$ vuông góc với $CS$. $L$ là giao điểm của đường thẳng qua $P$ vuông góc với $BS$ và đường qua $Q$ vuông góc $CS$. C/M $2KL=HA$
LG:
Phần đầu tác giả đã c/m KB=KC
LB=LC
nên $KL$ vuông góc $BC$
Lấy D,R để $AHDF,QRKL$ là các hình bình hành
thấy $HE$ vuông góc $NC$ $HD$ song song $AF$ $AF$ vg $CF$ $CF$ ss $NS$ nên $\widehat{EHD}=\widehat{CNS};\Delta CHE\sim \Delta CAF\Rightarrow \frac{HE}{HD}=\frac{EC}{FC}=\frac{2NC}{2NS}=\frac{NC}{NS}$
$\Rightarrow \Delta EHD\sim CNS\Rightarrow \widehat{HED}=\widehat{NCS}\Rightarrow \Delta DEF\sim \Delta RNQ$
$\Rightarrow \frac{KL}{HA}=\frac{RQ}{DF}=\frac{QN}{EF}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2HL=HA$