mn|3^m+1,3^n+1
#1
Đã gửi 27-07-2006 - 21:25
Nhìn lại các bài toán của Korea 2005
#2
Đã gửi 31-07-2006 - 09:11
26th IMO 1985 shortlist
Problem 18
a, b, c, ... , k are positive integers such that a divides 2b - 1, b divides 2c - 1, ... , k divides 2a - 1. Show that a = b = c = ... = k = 1.
Solution
Suppose a prime p divides 2b - 1. Then 2b = 1 mod p and (by Fermat's theorem) 2p-1 = 1 mod p. Hence if d is the greatest common divisor of b and p-1, then 2d = 1 mod p. Evidently d > 1 (since 2 is not 1 mod p). Since d divides p-1, we have d < p. But d divides b, so there is a prime q smaller than p which divides b.
But if b > 1, then we may take p to be the smallest prime which divides 2b - 1. Then we find q < p which divides b and hence 2c - 1. Continuing in this way we find a prime strictly smaller than p which divides 2b - 1. Contradiction. So b must be 1. Similarly for the other integers.
#3
Đã gửi 02-08-2006 - 16:43
Em có các khác:Nếu (m,n) là cặp thỏa mãn thì m|3^n+1 và n|3^m+1,vậy liệu có thể áp dụng suy luận dưới đây?
26th IMO 1985 shortlist
Problem 18
a, b, c, ... , k are positive integers such that a divides 2b - 1, b divides 2c - 1, ... , k divides 2a - 1. Show that a = b = c = ... = k = 1.
Solution
Suppose a prime p divides 2b - 1. Then 2b = 1 mod p and (by Fermat's theorem) 2p-1 = 1 mod p. Hence if d is the greatest common divisor of b and p-1, then 2d = 1 mod p. Evidently d > 1 (since 2 is not 1 mod p). Since d divides p-1, we have d < p. But d divides b, so there is a prime q smaller than p which divides b.
But if b > 1, then we may take p to be the smallest prime which divides 2b - 1. Then we find q < p which divides b and hence 2c - 1. Continuing in this way we find a prime strictly smaller than p which divides 2b - 1. Contradiction. So b must be 1. Similarly for the other integers.
Bổ đề:nếu thì
Áp dụng ta được:nếu m,n>1 thì m,n đều chẵn nên (vô lý vì m chẵn)
Giả sử m=1 thì \Rightarrow n=1,2,4
Tâm chuyển sát chí
#4
Đã gửi 03-08-2006 - 08:55
Cho thỏa mãn
Cmr
Bài này thì ta cũng dùng một cái bổ đề về chia hết
Từ đó ta giải ra
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#5
Đã gửi 03-08-2006 - 10:15
#6
Đã gửi 03-08-2006 - 11:08
Khi đó em thay vào rồi suy ra mâu thuẫn
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#7
Đã gửi 07-07-2012 - 11:58
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh