Bài 1:
Gọi $\large P(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots+b_{n}x^{n}$ là một đa thức hệ số phức với $b_{n}=1$ . Các nghiệm của $\large P(x)$ là $\large \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ , với $|\large \alpha_{1}|, |\large \alpha_{2}|, \ldots , |\large \alpha_{j}|$ và $|\large \alpha_{j+1}|, \ldots , |\large \alpha_{n}| \leq 1$ .
Chứng minh rằng :
$\large\prod\limits_{i=1}^{n} \leq \large \sqrt{|\alpha_{0}|^{2}+\ldots +|\alpha_{n}|^{2}}$
Bài 2:
Cho một dãy gồm tám số nguyên $\large x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{8}$ , trong một phép toán ta thay các số này bởi $\large |x_{1}-x_{2}|, |x_{2}-x_{3}|,\ldots , |x_{8}-x_{1}|$ . Tìm tất cả các dãy gồm tám số hạng có thể quy về một dãy gồm toàn các số bằng nhau sau một số hữu hạn phép toán.
Bài 3:
Giả sử rằng $\large n$ người gặp nhau tại một cuộc họp, và mỗi người quen đúng 8 người khác. Hai người bất kỳ quen nhau có đúng 4 người quen chung, và 2 người không quen nhau bất kỳ có đúng 2 người quen chung. Tìm tất cả các giá trị có thể của $\large n$ .
Ngày thi thứ hai – 15/04/1995
Bài 4:
Cho $\large m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}$ là các số nguyên đôi một phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức $\large f(x)$ bậc $\large n$ với các hệ số nguyên thỏa mãn 2 điều kiện sau :
(i) $\large f(m_{i})=-1 \forall i=1,\ldots , n$ ;
(ii) $\large f(x)$ bất khả quy .
Bài 5:
Gọi $\large P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $\large A_{1}A_{2}A_{3}$ , và gọi $\large H$ là trực tâm tam giác. $\large B_{1}, B_{2}, B_{3}$ là chân đường vuông góc hạ từ $\large P$ xuống $\large A_{2}A_{3}, A_{3}A_{1} , A_{1}A_{2}$ . Chúng nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Simson). Chứng minh rằng đường thẳng này chia đôi đoạn $\large PH$ .
Bài 6:
Gọi $\large a, b, c, d$ là các số nguyên thỏa mãn $\large (a, b)=(c, d)=1$ và $\large ad-bc=k>0$. Chứng minh rằng tồn tại đúng $\large k$ cặp số hữu tỉ $\large (x_{1}, x_{2})$ với $\large 0\leq x_{1}, x_{2} <1$ sao cho cả $\large ax_{1} + bx_{2}$ và $\large cx_{1} + dx_{2}$ đều là số nguyên .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:22
