Cho tứ diện $SABC$ có thể tích là $V$. Gọi $M$ là một điểm tùy ý trong đáy $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA;SB;SC$. Các đường đó lần lượt cắt các mặt $SBC ; SAC ; SAB$ tại $A_1;B_1;C_1$. Gọi $V_1$ là thể tích tứ diện $M.A_1B_1C_1$. Hãy chứng minh:
$$V1 \leq \dfrac{1}{27}V$$
$V1 \leq \dfrac{1}{27}V$
#1
Đã gửi 22-09-2007 - 16:55
- Zaraki yêu thích
We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering, and technology. And there will always, always be mathematics.
#2
Đã gửi 23-08-2013 - 12:19
Giả sử $AM,BM,CN$ cắt $BC,AC,AB$ tại $A_{2},B_{2},C_{2}$
Ta có: $\frac{MA_{1}}{SA}=\frac{MA_{2}}{AA_{2}}, \frac{MB_{1}}{SB}=\frac{MB_{2}}{BB_{2}},\frac{MC_{1}}{SC}=\frac{MC_{2}}{CC_{2}}$
Mà $\frac{MA_{2}}{AA_{2}}+\frac{MB_{2}}{BB_{2}}+\frac{MC_{2}}{CC_{2}}=\frac{S_{BCM}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ACM}}{ABC}+\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=1$$\Rightarrow \frac{MA_{1}}{SA}+\frac{MB_{1}}{SB}+\frac{MC_{1}}{SC}=1 (+)$
Mặt khác ta thấy $MA_{1}\parallel SA,MB_{1}\parallel SB,MC_{1}\parallel SC\Rightarrow$ các góc đỉnh $M=$ các góc đỉnh $S$ của $S.ABC$
$\Rightarrow$ Trên $SA,SB,SC$ ta đặt được hình chóp $M.A_{1}B_{1}C_{1}$ lên các cạnh sao cho $SA_{1}=MA_{1}, SB_{1}=MB_{1},SC_{1}=MC_{1}$
$\Rightarrow$ $V_{M.A_{1}B_{1}C_{1}} =V_{S.A_{1}B_{1}C_{1}}$
$\Rightarrow \frac{V_{M.A_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{S.ABC}}=\frac{V_{S.A_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{S.ABC}}$$=\frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}(++)$
Từ $(+)$ $\Rightarrow$$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA}+\frac{SB_{1}}{SB}+\frac{SC_{1}}{SC}=1$
Áp dụng BĐT Cauchy:
$1\geq 3\sqrt[3]{\frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}}\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA}.\frac{SB_{1}}{SB}.\frac{SC_{1}}{SC}\leq \frac{1}{27}$
Từ $(++)$ $\Rightarrow V_{1}\leq \frac{1}{27}V\Rightarrow đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 23-08-2013 - 19:47
- Zaraki, letankhang, diepviennhi và 10 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh