Chủ đề này có 28 trả lời

[vo thanh van]

Cho x,y,z là các số thực không âm ,đôi một khác nhau.Chứng minh rằng
$(xy+yz+zx)(\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?

[tanpham90]

Cho $x,y,z$ la cac so khong am khac nhau doi mot , tim hang so k tot nhat cua bat dang thuc :
$(xy+yz+zx)[ \dfrac{1}{(x-y)^{2}}+ \dfrac{1}{(y-z)^{2}}+ \dfrac{1}{(z-x)^{2}} ] \geq\ k$

Dat : $f(x,y,z)=(xy+yz+zx)[ \dfrac{1}{(x-y)^{2}}+ \dfrac{1}{(y-z)^{2}}+ \dfrac{1}{(z-x)^{2}} ]$

Ta chung minh : $f(x,y,z) \geq\ f(x-z,y-z,0)$

That vay , khong mat tinh tong quat gia su $z=min(x,y,z)$ ta co :

$f(x,y,z)-f(x-z,y-z,0)= \dfrac{(2x+2y-z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)^{2}z}{((x-y)(y-z)(z-x))^{2}} \geq\ 0$

Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop $z=0$ Dat $y=ax$ $a>0$ va $a$ khac $1$ !

Ta co :

$f(x,ax,0)= \dfrac{a^{4}-2a^{3}+3a^{2}-2a+1}{a(a-1)^{2}}=g(a)$

Cách 1 : biến đổi tưong đương chứng minh $g(a) \geq\ 4$ tươnng đương với $(a+\dfrac{1}{a}-3)^{2} \geq\ 0$ Hiển nhiên đúng !

Cách 2 :

$g'(a)= \dfrac{a^{5}-3a^{4}+a^{3}+a^{2}-3a+1}{a^{2}(a-1)^{3}}= \dfrac{(a+1)(a^{2}-3a+1)(a^{2}-a+1)}{a^{2}(a-1)^{3}}$

Tu do ta tim duoc gia tri nho nhat cua $g(a)$ la $4$ va dat duoc tai 2 diem la $a= \dfrac{3- \sqrt{5}}{2}$ va $a= \dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}$ vay hang so tot nhat can tim la $k=4$ va dau bang xay ra tai hai diem la $([\dfrac{3- \sqrt{5}}{2}]x,x,0)$ va $([\dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}]x,x,0)$

[t_toan]

Đặt $VT=f(x,,y,z)$

Giả sử $z=min{x,y,z} $

Ta có $xy+yz+zx=xy+z(x+y) \geq xy$

Và $\dfrac{1}{(y-z)^2} \geq \dfrac{1}{y^2}$

$\Leftrightarrow 2z(y-z) \geq 0$ Đúng theo $$

$\dfrac{1}{(z-x)^2} \geq \dfrac{1}{x^2}$

$\Leftrightarrow 2z(x-z) \geq 0$ Đúng theo $$

Từ đây ta suy ra:

$f(x,y,z) \geq f(x,y,0)=xy[\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}]$

Vậy ta sẽ chứng minh rằng:

$\dfrac{xy}{(x-y)^2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 4$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 4$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2 \geq 2$

Vì $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2>0$ theo BĐT Cauchy và $x \neq y$.

Từ đó suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi:

$z=0$

$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.$

[ketcuong]

Chết thật mình làm nhầm rồi sao lại ra (1+sqrt(5))/2 chu

[zaizai]

Tiếc là bài này hồi trước mình post lên forum 1 lần rồi nói chung cũng dễ nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên

http://diendantoanho....php?...A3i mới

Một lời giải của anh Nesbit chỉ 1 dòng :
Giả sử c nhỏ nhất rồi dùng AM-GM anh có
$VT=\dfrac{1}{ (a-b)^2}+\dfrac{(a-b)^2}{(b-c)^2(a-c)^2} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{2}{(a-c)(b-c)} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{4}{ab+bc+ca}$

[tqnst]

Bài này giống hệt bài có trong bài viết về "Phương pháp dồn biến" của bạn Phan Thành Việt ,cũng đã có trên diễn đàn nhưng bây giờ hình như bị hack mất rồi

[t_toan]

Chết thật mình làm nhầm rồi sao lại ra (1+sqrt(5))/2 chu

Hi, bạn cũng sai giống mình sao? Mình tính nhằm $\Delta = (-3)^2 -4.1=5$ mà mình viết là: $\Delta = (-3)^2 -1=8$.
Mình ra kết quả là $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$ mới chết chứ. Phen này tiêu rồi.... (^|^)

[pvthuan]

Hi, bạn cũng sai giống mình sao? Mình tính nhằm $\Delta = (-3)^2 -4.1=5$ mà mình viết là: $\Delta = (-3)^2 -1=8$.
Mình ra kết quả là $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$ mới chết chứ. Phen này tiêu rồi.... (^|^)

Đây cũng là bài toán 6.27 (trang 248) trong cuốn sách Bất Đẳng Thức, Suy luận & Khám phá, NXB ĐHQGHN.

[tanpham90]

Trùng hợp thật , không ngờ là lại có trong sách của thầy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanpham90: 29-01-2008 - 18:20

[FOOL90]

Và dĩ nhiên là cũng có trong tài liệu của người ra đề năm nay .

[pvthuan]

Và dĩ nhiên là cũng có trong tài liệu của người ra đề năm nay .

Cái này cũng đoán được vì các tác giả có tặng sách cho một số người (quan trọng) từ tháng 8 năm 2007.

[Nesbit]

nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên

Đồng ý với chú câu này (nhưng nói nhỏ thôi, oang oang ra thế này thì...)
Đề năm nay có bài BDT nhìn là thích làm rồi

[Bùi Việt Anh]

Bài này trở nên quen thuộc từ 2 năm trước rồi. Ra đề kiểu này thì thiệt thòi những người ko học trên mạng quá. Thiết nghĩ, đề quốc gia nên do các thầy tự sáng tạo ra để đảm bảo tính công bằng cho học sinh.

[zaizai]

Em thì thấy bài này lại là bài cho điểm vì nhìn vào thấy ngay chỉ là bài 2 biến. Còn nhìn chung thì có một số bài cũng ko mới quá... dù có một số bài thì nhìn đã ko muốn làm

[Bùi Việt Anh]

Chính xác thì là bài 1 biến( cho 1 biến bằng 0, 1 biến chuẩn hoá) .Thường thì bài 3, 6 là những bài khó nhưng năm nay lại là bài gỡ điểm. Mất hết cả truyền thống.

[tanpham90]

Chính xác thì là bài 1 biến( cho 1 biến bằng 0, 1 biến chuẩn hoá) .Thường thì bài 3, 6 là những bài khó nhưng năm nay lại là bài gỡ điểm. Mất hết cả truyền thống.

thế à , sao anh không nói sớm

[titikid91yb]

sao ko ai nghĩ là dùng qua iran 96 nhỉ?

[vo thanh van]

Tiếc là bài này hồi trước mình post lên forum 1 lần rồi nói chung cũng dễ nhưng sau đó nó bị hack vào thùng rác chắc là hacker là người của bộ giáo dục cũng nên

http://diendantoanho....php?...A3i mới

Một lời giải của anh Nesbit chỉ 1 dòng :
Giả sử c nhỏ nhất rồi dùng AM-GM anh có
$VT=\dfrac{1}{ (a-b)^2}+\dfrac{(a-b)^2}{(b-c)^2(a-c)^2} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{2}{(a-c)(b-c)} +\dfrac{2}{(a-c)(b-c)} \ge \dfrac{4}{ab+bc+ca}$

hehe,thế mà cái bài của ku zaizai Văn cứ nhìn qua tưởng là giống với bài của anh Đào Hải Long nên không đọc nữa,không ngờ là bài thi QG và lời giải của anh Khuê lại đơn giản đến thế

[zaizai]

Lời giải đơn giản nhưng khó nghĩ ra Cái này thì cần đẳng cấp nhiều hơn còn bài trên nhìn vào là biết ngay có 1 thằng bằng 0 còn lại thì thích làm gì thì làm... cả vài cách chứ chả ít

http://www.mathlinks...ic.php?t=168974

Bài chặt hơn ở đây. Nói chung là bài nào cũng dễ cả

[tanpham90]

Không phải chặt hơn mà là khó hơn và là một bài hoàn toàn khác ( đẳng thức 2 thằng khác nhau nên không gọi là chặt hơn được )