bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum a^{2}(a^{2}+2bc)+2\sum ab\sqrt{(a^{2}+2bc)(b^{2}+2ca)}\geq 3(ab+bc+ca)^{2}$
sử dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:
$\sum ab\sqrt{(a^{2}+2bc)(b^{2}+2ca)}\geq\sum ab(ab+2c\sqrt{ab})\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
nên ta chỉ cần chứng minh được:$a^{4}+b^{4}+c^{4}+4abc(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+4abc(a+b+c)$
tương đương với:$\sum \left ( (a+b)^{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2} -4abc\right )(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow$$M(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+N(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}+P(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}\geq 0$
Với$M=(a+b)^{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$ và N,P xác định tương tự.
Giả sử$a\geq b\geq c$ dễ thấy$M\geq P\geq N$.Do đó ta chỉ cần chứng minh được$N+P\geq 0$
mà $N+P=(a+c)^{2}(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{2}+(b+c^{2})(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}-8abc\geq (a+c)^{3}+(b+c)^{3}-8abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}c+3b^{2}c-8abc\geq abc\geq 0$
Bất đẳng thức được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
