$n!>(\frac{n}{e})^n,\,\, n\in Z^+$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 07:07
Chứng Minh $n!>(\frac{n}{e})^n,\,\, n\in Z^+$
Bắt đầu bởi Dongvu, 03-03-2008 - 20:32
#1
Đã gửi 03-03-2008 - 20:32
Dongvu
-
- Thành viên
-
- 11 Bài viết
Binh nhì
Chứng Minh
$n!>(\frac{n}{e})^n,\,\, n\in Z^+$
$n!>(\frac{n}{e})^n,\,\, n\in Z^+$
Thêm một người quen là bớt đi một người xa lạ
#2
Đã gửi 20-11-2012 - 07:12
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Với $n=1$ ta có $1!=1>\frac{1}{e}$ (đúng)Chứng Minh
$n!>(\frac{n}{e})^n,\,\, n\in Z^+$ (1)
Giả sử đúng đến $n=k,k\in Z^+$ tức là ta có $k!>(\frac{k}{e})^k$ (2)
Ta chứng minh (1) đúng khi $n=k+1$ nghĩa là chứng minh $(k+1)!>(\frac{k+1}{e})^{k+1}$ (3)
Ta có $$e=\lim_{x\to \infty }(1+\frac{1}{n})^n\Rightarrow e>(\frac{1}{k}+1)^k, k\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{e}{(1+\frac{1}{k})^k}>1$$
$(k+1)!=k!(k+1)>(k+1).(\frac{k}{e})^k$
$$(k+1)! > (\frac{k+1}{e})^{k+1}.\frac{k^k.e}{(k+1)^k}=(\frac{k+1}{e})^{k+1}.\frac{e}{(1+\frac{1}{k})^k}>(\frac{k+1}{e})^{k+1}$$
Vậy (3) đúng.
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 20-11-2012 - 11:15
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
