Ngày 1
Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với $\angle BAC=\dfrac{\pi}{6}$ và bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng $1$.Nếu $X$ là một điểm nằm trong hoặc trên biên tam giác $ABC$ thì đặt $m(X)=\min(AX,BX,CX)$.Tìm tất cả các góc của tam giác này nếu $\max(m(X))=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Bài 2. Tìm tất cả $a \in R$ sao cho tồn tại một hàm số khác hằng số $f: (0,1] \to R$ thỏa mãn
$a+f(x+y-xy)+f(x)f(y) \leq f(x)+f(y)$
vợi mọi $x,y \in (0,1]$
Bài 3. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác không cân $ABC$.Đặt $A_1 \equiv AI \cap BC $ và $ B_1 \equiv BI \cap AC$.Gọi $ l_a$ là đường thẳng qua $A_1$ song song với $AC$ và $l_b$ là đường thằng qua $B_1$ song song với $BC$.Đặt $l_a \cap CI \equiv A_2, l_b
\cap CI \equiv B_2$ và $N \equiv AA_2 \cap BB_2$ và $M$ là trung điểm của $AB$.Nếu $CN // IM$ thì hãy tính $\dfrac{CN}{IM}$.
Bài 4. Cho $G$ là một đồ thị và $x$ là một đỉnh của $G$.Ta xác định một phép biến đổi $\phi_x$ trên $G$ là ta xóa đi tất cả các đoạn có $x$ làm đầu mút và vẽ thêm vào các cạnh $xy$ với $y \in G$ và $y $ không được nối với $x$.Một đồ thị $H$ được gọi là $G-attainable$ nếu tồn tại một dãy các phép biến đổi trên sao cho có thể biến đổi $G$ thành $H$.Chứng minh rằng với mỗi đồ thị $G $với $4n$ đỉnh và $n$ cạnh thì tồn tại một đồ thị $G-attainable$ với ít nhất $\dfrac{9n^2}{4}.$
Ngày 2
Bài 5. Trên tam giác cân $ABC(AC=BC) $ lấy điểm $M$ trên cạnh $AB$ sao cho $AM=2BM$.Gọi $F$ là trung điểm của $ BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AF$.Chứng minh rằng $\angle BHF=\angle ABC.$
Bài 6. Gọi $ n,k \in N, n \geq 2k > 3$ và $A=\{1,2,..,n\}$.Tìm tất cả $n,k$ sao cho số tập con $k$ phần tử của A thì lớn hơn $2n-k$ lần số tập con $2$ phần tử của A.
Bài 7. Cho $n \in N, n \geq 2$. Tìm hằng số $C(n)$ tốt nhất sao cho
$\sum_{i=1}^{n}x_{i}\geq C(n)\sum_{1\leq j<i\leq n}(2x_{i}x_{j}+\sqrt{x_{i}x_{j}})$
đúng với mọi $x_i \in (0,1),i=1,..,n$ và $(1-x_{i})(1-x_{j})\geq\dfrac{1}{4},1\leq j<i \leq n$.Bài 8. Cho $p=4k+3$ là số nguyên tố.Tìm số các số phân biệt theo $mod(p)$ của $(x^2+y^2)^2$ với $(x,p)=(y,p)=1$
Click vào từng bài để đưa tới link thảo luận.
File gửi kèm
-
Bulgaria_Team_Selection_Tests_2007.pdf 96.98K
45 Số lần tải
