Chủ đề này có 2 trả lời

[tanlsth]

Trên tam giác cân $ABC(AC=BC) $ lấy điểm $M$ trên cạnh $AB$ sao cho $AM=2BM$.Gọi $F$ là trung điểm của $ BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AF$.Chứng minh rằng $\angle BHF=\angle ABC.$

[FOOL90]

Lời giải
Dựng đuờng tròn tâm $(Q) $ngoại tiếp $ \Delta ABC$ .
Kẻ $CO \perp AB$ .$ O \in (Q)$.
$OI \perp AF $. $I \in AF$.
G là trọng tâm tam giác ABC

NX. OI đi qua N thỏa mãn $AN = \dfrac{1}{3} AB$
Thật vậy ta có tứ giác EGJN nội tiếp $\Rightarrow \widehat{NGJ}\widehat{JEN}$ (1)
Tứ giác AENO nội tiếp $\Rightarrow \widehat{JEO} = \widehat{JAO}$ (2)
Tứ gaíc ACBO nội tiếp $\Rightarrow \widehat{JAO} = \widehat{OCB}$ (3)
(1)(2)(3)$ \Rightarrow : \widehat{JGN}= \widehat{BCO} =\widehat{OCA} $
$\Rightarrow NG $ \\ $ AC \Rightarrow AN = \dfrac{1}{3} AB$

Do BH \\ NI nên $\widehat{BHF} = \widehat{NIF} = \widehat{AOC} =\widehat{ABC}$
$\Rightarrow \widehat{BHF}=\widehat{ABC}$ (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FOOL90: 14-07-2008 - 13:44

[number]

gọi O là trung điểm của AB, $K= OC\cap AF$ $\Rightarrow $ K là trọng tâm của $\delta ABC.$
$ \dfrac{OK}{KC} = \dfrac{OM}{MB} =1/2 \Rightarrow KM//BC \Rightarrow \widehat{KMO}= \widehat{ABC} $
TH1: $H \in AK$. tứ giác KHOM nội tiếp $ \Rightarrow \widehat{OHF} +\widehat{OBF}= \widehat{OHF}+\widehat{KMO}=180 $ .Suy ra OHFB nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BHF} = \widehat{BOF} = \widehat{ABC}$
TH2$:H \in KF$.OKHM nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KMO}= \widehat{KHO}= \widehat{ABC} \Rightarrow $OHFB nội tiếp
$\widehat{BHF} = \widehat{BOF} = \widehat{ABC}$