Chủ đề này có 1 trả lời

[tanlsth]

Cho $p=4k+3$ là số nguyên tố.Tìm số các số phân biệt theo $mod(p)$ của $(x^2+y^2)^2$ với $(x,p)=(y,p)=1$

[tanlsth]

Bài này khá cơ bản.
Trước tiên có nhận xét là $x^2+y^2 \no \vdots p, (x,p)=(y,p)=1, p=4k+3$.Chứng minh cái này chỉ cần phản chứng là $(x^2)^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv (-y^2)^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv x^{p-1} \equiv -y^{p-1} \equiv 1 \equiv -1 (mod p)$ (vô lí)

Trở lại bài toán.
Tập $ \{a \in \{1,2,..,p-1\}| \exists x \in Z, a \equiv x^2 (mod p)\}$ có số phần tử là $\dfrac{p-1}{2}$ do đó theo nhận xét số các phần tử của tập $B=\{(x^2+y^2)^2(mod p)|(x,p)=(y,p)=1\}$ tối đa là $\dfrac{p-1}{2}$

Mặt khác trong $2$ số $m$ và $p-m$ có đúng một số chính phương $mod p $ nên ta xét tập $C=\{x \in \{1,..,p-1\}| (\dfrac{x}{p})=-1\}$ với $|C|=\dfrac{p-1}{2}$ thì ta có $x^2 \no \equiv y^2 (mod p) , \forall x \neq y \in C$ suy ra tập $T=\{x^2(mod p)| x \in C\}$ chứa các số chính phương $mod p$ phân biệt và $|T|=\dfrac{p-1}{2}$

Do đó với mỗi $m \in C$ ta xét $2$ dãy $\{m-x^2\}$ và $\{y^2\}$ với $x,y \in \{0,1,..,\dfrac{p-1}{2}\}$

Trong mỗi dãy các phần tử phân biệt theo $mod p$ và tổng số lượng $2$ dãy là $p+1$ nên tồn tại $x,y$ sao cho $m-x^2 \equiv y^2 (mod p) \to x^2+y^2 \equiv m (mod p)$

Dễ thấy $x,y \neq 0$ suy ra $(x^2+y^2)^2 \equiv m^2 (mod p) $

Suy ra số các phần tử phân biệt là $\dfrac{p-1}{2}$