Chủ đề này có 1 trả lời

[tanlsth]

Cho $ABC$ là một tam giác có $AB>AC$.Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc $BC$ tại $E$.Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của đường tròn nội tiếp với $AE$. $F$ là điểm nằm trên đoạn $AE$ sao cho $CE=CF$.Tia $CF$ cắt $BD$ ở $G$.Chứng minh rằng $CF=FG$.

[Mashimaru]

Gọi $H,K$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $\(I\)$ với các cạnh $AB,AC$ của $\triangle ABC$.

Gọi $P$ là giao điểm của $HK$ và $BC$.

Thế thì theo định lý Menelaus với $3$ điểm $P,K,H$ và $\triangle ABC$ ta có:
$\dfrac{\overline{HA}}{\overline{HB}}.\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}.\dfrac{\overline{KC}}{\overline{KA}}=1=-\dfrac{\overline{HA}}{\overline{HB}}.\dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}.\dfrac{\overline{KC}}{\overline{KA}}\Rightarrow \dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}=-\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\Rightarrow\(BCEP\)=-1$

Mặt khác rõ ràng $P$ là cực của đường thẳng $\(AE\)$ đối với đường tròn $\(I\)$ nên ta có $PD$ là tiếp tuyến của $\(I\)$. Suy ra:
$\widehat{CFE}=\widehat{CEF}=\widehat{PED}\Rightarrow CF||PD$

Theo định lý về chùm điều hoà, ta có $F$ là trung điểm của $CG$ ($CG$ bị chắn bởi $DB,DE,DC$ hơn nữa $CF||PD$ và $\(DB,DC,DE,DP\)=-1$)

Kết thúc chứng minh.