Chủ đề này có 1 trả lời

[TrungBody]

Có bài Bất đẳng thức về lượng giác trong đề HSG Nghệ An , dạng quen thuộc mà làm mãi không ra, ai làm giúp một cái
$(\dfrac{sin(x)}{x})^{3}>cos(x)$ với $x \in \left ( 0, \frac{\pi }{2} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-11-2012 - 20:21

[Ispectorgadget]

$(1) \Leftrightarrow tgx.\sin^2x-x^3 >0$
Xét $f(x)=tgx.\sin^2x-x^3 >0;x\in (0;\frac{\pi}{2})$
$f'(x)=tg^2x+2\sin^2x-3x^2$
$f''(x)=2tg x.\frac{1}{\cos^2x}+4\sin x.\cos x -6x=\frac{2\sin x}{\cos^3x}+2\sin 2x-6x$
$f'''(x)=\frac{2\cos^2x+6\sin^2 x}{\cos^4x}+8\cos ^2x-10=\frac{8\cos ^6x-10\cos^4x-4\cos^2x+6}{\cos^4x}$
$=\frac{2(\cos^2x-1)^2(4\cos^2x+3)}{\cos^4x}>0 \forall x\in (0;\frac{\pi}{2})$
$f''(x)$ đồng biến trên $(0;\frac{\pi}{2})\Rightarrow f''(x)>f''(0)=0;\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})$
$\Rightarrow f'(x)$ đồng biến trên $(0;\frac{\pi}{2})\Rightarrow f'(x)>f'(0)=0;\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})$
$f(x)$ đồng biến trên $(0;\frac{\pi}{2})\Rightarrow f(x)>f(0)=0;\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})$
Vậy bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-11-2012 - 15:58