$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k $
2) Với hằng số $k$ cho trước, cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=a+b+c+kabc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 11-08-2010 - 20:43
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 11-08-2010 - 20:43
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1) Tìm hằng số $k$ lớn nhất, sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ca=3$:
$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k $
Bài này vui mà không thấy ai giải nhỉ.
1) Tìm hằng số $k$ lớn nhất, sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ca=3$:
$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k $
2) Với hằng số $k$ cho trước, cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=a+b+c+kabc$
Bài 1:
Đáp số $k\in (-\infty ;\frac{9}{4}]$ còn vì sao thì mình chưa lý giải được
Bài 1:
Đáp số $k\in (-\infty ;\frac{9}{4}]$ còn vì sao thì mình chưa lý giải được
Bài này vui mà không thấy ai giải nhỉ.
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
Điều kiện đủ thì sao em ?
Điều kiện đủ thì sao em ?
Điều kiện đủ em thử chưa c/m được anh a.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 16-09-2016 - 19:40
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
Điều kiện đủ thì sao em ?
Bài này vui mà không thấy ai giải nhỉ.
Điều kiện đủ:[Sử dụng phương pháp dồn biến tạm]
Đặt \[f\left( {a,b,c} \right) = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9{\left( {abc} \right)^2}\]
Xét hàm \[f\left( {a,t,t} \right) = 4{a^2} + 8{t^2} + 9{t^4}{a^2}\]$\text{thỏa mãn} $\[ab + bc + ac = 3 = 2at + {t^2}\]
\[D = f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {a,t,t} \right) = 4\left( {{b^2} + {c^2} - 2{t^2}} \right){\rm{ + 9}}{a^2}\left[ {{{\left( {bc} \right)}^2} - {t^4}} \right]\]
Từ giả thiết:
\[ab + bc + ac = 2at + {t^2} \Leftrightarrow a\left( {b + c - 2t} \right) = {t^2} - bc \Rightarrow \left( {b + c - 2t} \right)\left( {{t^2} - bc} \right) \ge 0\]
Nếu
Điều này vô lý
Nếu $b+c\ge 2t\Rightarrow t^2\ge bc$. Khi đó:
Ta có:
\[ab + bc + ac = 2at + {t^2} \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) = {\left( {a + t} \right)^2} \Leftrightarrow t = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a\]
Suy ra:
\[T1 = b + c - 2t = b + c + 2a - 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \]
\[ = \frac{{{{\left( {b + c + 2a} \right)}^2} - 4\left( {{a^2} + ac + bc + ab} \right)}}{{b + c + 2a + 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}\]
\[ = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - 4bc}}{{b + c + 2a + 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}\]
\[ = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{b + c + 2a + 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{A}\]
Từ giải thiết lại có:
\[ab + ac + bc = {t^2} + 2at \Leftrightarrow {t^2} - bc = a\left( {b + c - 2t} \right)\]
\[ = \frac{{a{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{b + c + 2a + 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}\]
Suy ra:
\[D = f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {a,t,t} \right) = 4\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 2bc - 2{t^2}} \right] + 9{a^2}\left( {{t^2} - bc} \right)\left( {{t^2} + bc} \right)\]
\[ = 4\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 4{t^2}} \right] + 8\left( {{t^2} - bc} \right) - 9{a^2}\left( {{t^2} - bc} \right)\left( {{t^2} + bc} \right)\]
\[ = \frac{{4\left( {b + c + 2t} \right){{\left( {b - c} \right)}^2}}}{A} + \frac{{8a{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{A} - \frac{{9{a^3}\left( {{t^2} + bc} \right){{\left( {b - c} \right)}^2}}}{A} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2}\left[ {4\left( {b + c} \right) + 2t + 8a - 9{a^3}\left( {{t^2} + bc} \right)} \right] \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2}B \ge 0\left( @ \right)\]
Ta lại có:
\[B \ge 4\left( {b + c} \right) + 2t + 8a - 18{a^3}{t^2} \ge 10t + 8a - 18{a^3}{t^2}\left( {{\rm{ do }}bc \le {t^2}} \right)\]
+ Giả sử $a=min[a,b,c]$ Suy ra: $\begin{cases} 3a^2\ge ab+bc+ac=t^2+2at\Rightarrow\dfrac{b+c}{2}\ge t\ge a\\3=t^2+2at\ge 3at\Rightarrow at\ge 1\end{cases}$
+ Suy ra:
\[B \ge 8t + 2t + 8a - 18a \ge 18a - 18a = 0\]
Vậy (@) luôn đúng.
Suy ra:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 24-09-2016 - 07:43
Đề thi chọn đội tuyển HSG:
http://diendantoanho...date-2016-2017/
Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:
http://diendantoanho...topicfilter=all
Blog Thầy Trần Quang Hùng
http://analgeomatica.blogspot.com/
Hình học: Nguyễn Văn Linh
https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/
Toán học tuổi trẻ:
http://www.luyenthit...chi-thtt-online
Mathlink:http://artofproblemsolving.com
BẤT ĐẲNG THỨC:
http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/
http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh