Đến nội dung

Hình ảnh

$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
leviethai1994

leviethai1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 45 Bài viết
1) Tìm hằng số $k$ lớn nhất, sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ca=3$:

$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k $

2) Với hằng số $k$ cho trước, cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=a+b+c+kabc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 11-08-2010 - 20:43


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 1:
Đáp số $k\in (-\infty ;\frac{9}{4}]$ còn vì sao thì mình chưa lý giải được Hình đã gửi

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

1) Tìm hằng số $k$ lớn nhất, sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ca=3$:

$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k $

 

Bài này vui mà không thấy ai giải nhỉ. ;)


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#4
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

1) Tìm hằng số $k$ lớn nhất, sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ca=3$:

$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k $

2) Với hằng số $k$ cho trước, cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=a+b+c+kabc$

 

Bài 1:
Đáp số $k\in (-\infty ;\frac{9}{4}]$ còn vì sao thì mình chưa lý giải được 9cool_pudency.gif

 

 

Bài 1:
Đáp số $k\in (-\infty ;\frac{9}{4}]$ còn vì sao thì mình chưa lý giải được 9cool_pudency.gif

 

 

 

Bài này vui mà không thấy ai giải nhỉ. ;)


Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#5
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

Tìm $k=?$

Hình gửi kèm

  • 001.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Điều kiện đủ thì sao em ? :)


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#7
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

Điều kiện đủ thì sao em ? :)

Điều kiện đủ em thử chưa c/m được anh a.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 16-09-2016 - 19:40

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#8
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết


Điều kiện đủ thì sao em ? :)

 



Bài này vui mà không thấy ai giải nhỉ. ;)

Điều kiện đủ:[Sử dụng phương pháp dồn biến tạm]

Đặt \[f\left( {a,b,c} \right) = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9{\left( {abc} \right)^2}\] 

Xét hàm \[f\left( {a,t,t} \right) = 4{a^2} + 8{t^2} + 9{t^4}{a^2}\]$\text{thỏa mãn} $\[ab + bc + ac = 3 = 2at + {t^2}\]

\[D = f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {a,t,t} \right) = 4\left( {{b^2} + {c^2} - 2{t^2}} \right){\rm{ +  9}}{a^2}\left[ {{{\left( {bc} \right)}^2} - {t^4}} \right]\]

Từ giả thiết:

\[ab + bc + ac = 2at + {t^2} \Leftrightarrow a\left( {b + c - 2t} \right) = {t^2} - bc \Rightarrow \left( {b + c - 2t} \right)\left( {{t^2} - bc} \right) \ge 0\]

Nếu 

\[\left\{ {2t > b + c \ge 2\sqrt {bc}  \to bc > {t^2}} \right. \to bc \ge {t^2} \ge bc\]

Điều này vô lý

Nếu $b+c\ge 2t\Rightarrow t^2\ge bc$. Khi đó:

Ta có:

\[ab + bc + ac = 2at + {t^2} \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) = {\left( {a + t} \right)^2} \Leftrightarrow t = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}  - a\]

Suy ra:

\[T1 = b + c - 2t = b + c + 2a - 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \]

\[ = \frac{{{{\left( {b + c + 2a} \right)}^2} - 4\left( {{a^2} + ac + bc + ab} \right)}}{{b + c + 2a + 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}\]

\[ = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - 4bc}}{{b + c + 2a + 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}\]

\[ = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{b + c + 2a + 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{A}\]

Từ giải thiết lại có:

\[ab + ac + bc = {t^2} + 2at \Leftrightarrow {t^2} - bc = a\left( {b + c - 2t} \right)\]

\[ = \frac{{a{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{b + c + 2a + 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}\]

Suy ra:

\[D = f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {a,t,t} \right) = 4\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 2bc - 2{t^2}} \right] + 9{a^2}\left( {{t^2} - bc} \right)\left( {{t^2} + bc} \right)\]

\[ = 4\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 4{t^2}} \right] + 8\left( {{t^2} - bc} \right) - 9{a^2}\left( {{t^2} - bc} \right)\left( {{t^2} + bc} \right)\]

\[ = \frac{{4\left( {b + c + 2t} \right){{\left( {b - c} \right)}^2}}}{A} + \frac{{8a{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{A} - \frac{{9{a^3}\left( {{t^2} + bc} \right){{\left( {b - c} \right)}^2}}}{A} \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2}\left[ {4\left( {b + c} \right) + 2t + 8a - 9{a^3}\left( {{t^2} + bc} \right)} \right] \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2}B \ge 0\left( @ \right)\]

Ta lại có:

\[B \ge 4\left( {b + c} \right) + 2t + 8a - 18{a^3}{t^2} \ge 10t + 8a - 18{a^3}{t^2}\left( {{\rm{ do }}bc \le {t^2}} \right)\]

+ Giả sử $a=min[a,b,c]$ Suy ra: $\begin{cases} 3a^2\ge ab+bc+ac=t^2+2at\Rightarrow\dfrac{b+c}{2}\ge t\ge a\\3=t^2+2at\ge 3at\Rightarrow at\ge 1\end{cases}$

+ Suy ra:

\[B \ge 8t + 2t + 8a - 18a \ge 18a - 18a = 0\]

Vậy (@) luôn đúng. 

Suy ra:

\[D = f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {a,t,t} \right) \ge 0 \Leftrightarrow f\left( {a,b,c} \right) \ge f\left( {a,t,t} \right){\rm{ v\'i i }}{a^2} + 2at = 3\]
Ta chứng minh $f(a,t,t)\ge\dfrac{21}{4}(**)$. Thật vậy:
(**) tương đương với:
\[f\left( {a,t,t} \right) = {a^2} + 2{t^2} + \frac{9}{4}{a^2}{t^4} \ge \frac{{21}}{4}\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} + 2.{\left( {\frac{{3 - {a^2}}}{{2a}}} \right)^2} + \frac{9}{4}{a^2}{\left( {\frac{{3 - {a^2}}}{{2a}}} \right)^4} \ge \frac{{21}}{4}\]
\[ \Leftrightarrow 64{a^6} + 32{a^2}{\left( {3 - {a^2}} \right)^2} + 9{a^2}{\left( {3 - {a^2}} \right)^4} \ge 21.16{a^4}\]
\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^3} - 33{x^2} + 161x - 339} \right) \ge 0\left( {{\rm{  }}x = {a^2}} \right)\left( ** \right)\]
Do $a\le 1\Rightarrow (**)$ luôn đúng. Vậy BĐT được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 24-09-2016 - 07:43

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh