Chủ đề này có 3 trả lời

[Giang1994]

cháo các bạn! ai giỏi toán giúp mình bài này vs! cảm ơn các bạn rất nhiều.
cho a,b,c dương. CMR
$ \dfrac{b+c}{2 a^{2} +bc}+ \dfrac{c+a}{2 b^{2}+ca }+ \dfrac{a+b}{2 c^{2}+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Giang1994: 27-04-2011 - 14:02

[dark templar]

cháo các bạn! ai giỏi toán giúp mình bài này vs! cảm ơn các bạn rất nhiều.
cho a,b,c dương. CMR
$\dfrac{b+c}{2 a^{2} +bc}+ \dfrac{c+a}{2 b^{2}+ca }+ \dfrac{a+b}{2 c^{2}+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$

Bài này thật ra mình cũng ko nghĩ ra ,đây là cách trong cuốn sách của mình :
BĐT tương đương
$\sum {\dfrac{{4\left( {b + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 \Leftrightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 $ $\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} = \dfrac{3}{2} - \sum {\dfrac{{bc}}{{2\left( {2a^2 + bc} \right)}}} \le \dfrac{3}{2} - \dfrac{{\left( {\sum {bc} } \right)^2 }}{{2\sum {bc\left( {2a^2 + bc} \right)} }} = 1 $
Ta sẽ cm $\sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25$
ko mất tính tổng quát giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$
Đặt $t=\dfrac{a+b}{2} \Rightarrow tc \leq ab \leq t^2$
Ta sẽ cm
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{\left[ {b\left( {a + 2b + 2c} \right) + a\left( {b + 2c + 2a} \right)} \right]^2 }}{{b^2 \left( {2a^2 + bc} \right) + a^2 \left( {2b^2 + ca} \right)}} = \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}} $
$tc \le ab \le t^2 \Rightarrow 2a^2 b^2 - 3abtc - \left( {2t^4 - 3t^3 c} \right) $
$= - \left( {t^2 - ab} \right)\left( {2t^2 + 2ab - 3tc} \right) \le 0 $
$\Rightarrow \dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}}$
$\ge \dfrac{{2\left( {3t^2 + 2tc} \right)^2 }}{{2t^4 - 3t^3 c + 4t^3 c}} = \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
$\dfrac{{\left( {c + 2a + 2b} \right)^2 }}{{2c^2 + ab}} \ge \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} $
Ta sẽ cm
$\dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \ge 25 \Leftrightarrow \dfrac{{c\left( {31t + 16c} \right)\left( {t - c} \right)^2 }}{{t\left( {2t + c} \right)\left( {t^2 + 2c^2 } \right)}} \ge 0\left( {true} \right)$
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25,\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \le 1 $
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25 - 1 = 24\left( {dpcm} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-11-2010 - 19:19

[Giang1994]

Bài này thật ra mình cũng ko nghĩ ra ,đây là cách trong cuốn sách của mình :
BĐT tương đương
$\sum {\dfrac{{4\left( {b + c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 \Leftrightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 24 $ $\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} = \dfrac{3}{2} - \sum {\dfrac{{bc}}{{2\left( {2a^2 + bc} \right)}}} \le \dfrac{3}{2} - \dfrac{{\left( {\sum {bc} } \right)^2 }}{{2\sum {bc\left( {2a^2 + bc} \right)} }} = 1 $
Ta sẽ cm $\sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25$
ko mất tính tổng quát giả sử $c = \min \left\{ {a,b,c} \right\}$
Đặt $t=\dfrac{a+b}{2} \Rightarrow tc \leq ab \leq t^2$
Ta sẽ cm
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
$\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{\left[ {b\left( {a + 2b + 2c} \right) + a\left( {b + 2c + 2a} \right)} \right]^2 }}{{b^2 \left( {2a^2 + bc} \right) + a^2 \left( {2b^2 + ca} \right)}} = \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}} $
$tc \le ab \le t^2 \Rightarrow 2a^2 b^2 - 3abtc - \left( {2t^4 - 3t^3 c} \right) $
$= - \left( {t^2 - ab} \right)\left( {2t^2 + 2ab - 3tc} \right) \le 0 $
$\Rightarrow \dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{\left( {b + 2c + 2a} \right)^2 }}{{2b^2 + ca}} \ge \dfrac{{2\left( {4t^2 - ab + 2tc} \right)^2 }}{{2a^2 b^2 - 3abtc + 4t^3 c}}$
$\ge \dfrac{{2\left( {3t^2 + 2tc} \right)^2 }}{{2t^4 - 3t^3 c + 4t^3 c}} = \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}}$
$\dfrac{{\left( {c + 2a + 2b} \right)^2 }}{{2c^2 + ab}} \ge \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge \dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} $
Ta sẽ cm
$\dfrac{{2\left( {3t + 2c} \right)^2 }}{{2t^2 + tc}} + \dfrac{{\left( {4t + c} \right)^2 }}{{t^2 + 2c^2 }} \ge 25 \Leftrightarrow \dfrac{{c\left( {31t + 16c} \right)\left( {t - c} \right)^2 }}{{t\left( {2t + c} \right)\left( {t^2 + 2c^2 } \right)}} \ge 0\left( {true} \right)$
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25,\sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \le 1 $
$\Rightarrow \sum {\dfrac{{\left( {a + 2b + 2c} \right)^2 }}{{2a^2 + bc}}} - \sum {\dfrac{{a^2 }}{{2a^2 + bc}}} \ge 25 - 1 = 24\left( {dpcm} \right)$

thanks dark templar, thế theo các bạn bài này có thể giải bằng chuẩn hóa được không? mình chuẩn hóa a+b+c=1 rồi dẫn đến ab+bc+ca-3abc <=2/9.tiếp thì chẳng biết làm thế nào, mà bdt này cũng đúng. các bạn giúp mình giải quyết tiếp nhớ!

[h.vuong_pdl]

thanks dark templar, thế theo các bạn bài này có thể giải bằng chuẩn hóa được không? mình chuẩn hóa $a+b+c=1$ rồi dẫn đến $ab+bc+ca-3abc \le \dfrac{2}{9}$.tiếp thì chẳng biết làm thế nào, mà bdt này cũng đúng. các bạn giúp mình giải quyết tiếp nhớ!

ta sẽ CM: $9(a+b+c)(ab+bc+ca) \le 27abc + 2(a+b+c)^3$
$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3) + 12abc \ge 3ab(a+b) + 3bc(b+c) + 3ca(c+a)$
$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3-3abc) \ge 3\sum{a(b^2+c^2)} - 18abc$
$\Leftrightarrow (a+b+c).\sum{(b-c)^2} \ge 3\sum{a(b-c)^2}$
$S_a = b+c-2a, S_b = c+a- 2b, S_c = a+b-2c$

p/s: bạn nhầm đâu đó rồi, hoặc là đã đánh giá hơi mạnh ở đâu đó!
vì khi thay $a = 0,1, b=0,45, c = 0,45$ thì BDT đổi chiều rồi ?!?