Chủ đề này có 4 trả lời

[lehaison_math]

Cho $x,y,z>0$ cmr
$\dfrac{x}{4x+4y+z}+\dfrac{y}{4y+4z+x}+\dfrac{z}{4z+4x+y} \le \dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-05-2011 - 19:40
Latex

[dark templar]

Sửa đề cho dễ nhìn!

Cho $a,b,c>0$ cmr

$\dfrac{x}{4x+4y+z}+\dfrac{y}{4y+4z+x}+\dfrac{z}{4z+4x+y}\leq\dfrac{1}{3}$

Nhân cả 2 vế của BĐT với $4(x+y+z)$,ta có :
$ \sum \dfrac{4x(x+y+z)}{4x+4y+z} \le \dfrac{4(x+y+z)}{3}$.
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{zx}{4x+4y+z} \le \dfrac{x+y+z}{9}$.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarzt,ta có :
$\dfrac{zx}{4x+4y+z}=\dfrac{zx}{(2y+z)+(2(2x+y)} \le \dfrac{zx}{9} \left(\dfrac{1}{2y+z}+\dfrac{2}{2x+y} \right)$.làm tương tự với 2 cái kia rồi cộng lại ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$

[anhtuanDQH]

Cho a,b,c>0 cmr
(x/(4x+4y+z))+(y/(4y+4z+x))+(z/(4z+4x+y)) =<1/3

G/s: $\ x+y+z=3 $
BDT cần cm tương đương với : $\sum \dfrac{x}{4-z} \leq \dfrac{1}{3} $
$\ xy^2+yz^2+zx^2 +xyz \leq 4 $
G/s: y nằm giữa x,z $\ z(y-x)(y-z) \leq 0 $ nên
$\sum xy^2 +xyz \leq \sum xy^2 +xyz - z(y-z)(y-x) =y(z+x)^2 $
Mà $\ y(x+z)^2 = 4y \dfrac{x+z}{2} \dfrac{x+z}{2} \leq 4 ( \dfrac{y+2 \dfrac{x+z}{2} }{3} )^3 =4 $
$\ DPCM $

[tranphongk33]

Nhân cả 2 vế của BĐT với $4(x+y+z)$,ta có :
$ \sum \dfrac{4x(x+y+z)}{4x+4y+z} \le \dfrac{4(x+y+z)}{3}$.
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{zx}{4x+4y+z} \le \dfrac{x+y+z}{9}$.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarzt,ta có :
$\dfrac{zx}{4x+4y+z}=\dfrac{zx}{(2y+z)+(2(2x+y)} \le \dfrac{zx}{9} \left(\dfrac{1}{2y+z}+\dfrac{2}{2x+y} \right)$.làm tương tự với 2 cái kia rồi cộng lại ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$

Lang thang tìm bđt, vô tình thấy bài này cùng với cách chứng minh khá gọn! Nhưng mình nghi ngờ chỗ này của bạn:

$ \sum \dfrac{4x(x+y+z)}{4x+4y+z} \le \dfrac{4(x+y+z)}{3}$.
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{zx}{4x+4y+z} \le \dfrac{x+y+z}{9}$.

Mình đã ngồi kiểm tra nhưng hok ra được như bạn. Xin được chỉ giáo. thankz!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphongk33: 22-07-2011 - 17:49

[tranphongk33]

G/s: $\ x+y+z=3 $
BDT cần cm tương đương với : $\sum \dfrac{x}{4-z} \leq \dfrac{1}{3} $
$\ xy^2+yz^2+zx^2 +xyz \leq 4 $
G/s: y nằm giữa x,z $\ z(y-x)(y-z) \leq 0 $ nên
$\sum xy^2 +xyz \leq \sum xy^2 +xyz - z(y-z)(y-x) =y(z+x)^2 $
Mà $\ y(x+z)^2 = 4y \dfrac{x+z}{2} \dfrac{x+z}{2} \leq 4 ( \dfrac{y+2 \dfrac{x+z}{2} }{3} )^3 =4 $
$\ DPCM $

Cách giải của bạn khá tinh tế khi dùng chuẩn hóa, nhưng cho mình hỏi khi bạn chuẩn hóa thì chỗ này có vẻ hok đúng:

BDT cần cm tương đương với : $\sum \dfrac{x}{4-z} \leq \dfrac{1}{3} $

Phải là: BDT cần cm tương đương với : $\sum \dfrac{x}{12-3z} \leq \dfrac{1}{3} $ tương đương với $\sum \dfrac{x}{4-z} \leq \1 $
Bạn có thể giải thích cho mình k? Thankz.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphongk33: 22-07-2011 - 17:54