Chủ đề này có 1 trả lời

[shamanking]

Cho x,y,z là các số dương, chứng minh rằng:
$ \dfrac{2xy}{(x+z)(y+z)}+ \dfrac{2yz}{(x+y)(x+z)}+ \dfrac{3xz}{(x+y)(y+z)} \geq \dfrac{5}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shamanking: 04-04-2011 - 08:11

[Tham Lang]

Bài này nếu để như thế này thì rất khó làm. Vì vậy, mình chọn một cách cổ điển nhất. Đó là biến đổi tương đương.
Thật vậy, bất đẳng thức đã cho tương đương:
$$3\left (2xy(x + y) + 2yz(y + z) + 3zx(z + x)\right ) \ge 5(x + y)(y + z)(z + x) \Leftrightarrow xy(x + y) + yz(y + z) + 4zx(z + x)\ge 10xyz $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{4z}{y} + \dfrac{4x}{y} \ge 10$$
Đúng vì :
$$\dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{4z}{y} + \dfrac{4x}{y} = \left (\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}\right ) $$ $$+ \left (\dfrac{y}{2x} + \dfrac{y}{2x} + \dfrac{y}{2z} + \dfrac{y}{2z} + \dfrac{2x}{y} + \dfrac{2x}{y} + \dfrac{2z}{y} + \dfrac{2z}{y}\right ) \ge 2 + 8 = 10$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh hoàn toàn.
Ý tưởng ra để nghĩ ra đề toán chỉ là việc xuất phát từ bất đẳng thức $AM-GM$ .Sau đó, biến đổi để được một đề toán tưởng chừng như rất đẹp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 02-04-2012 - 10:05