Chủ đề này có 5 trả lời

[dark templar]

Bài 1:
Cho $n \in N^*$.Chứng minh rằng:$ \sum\limits_{i=2}^{n+1}\dfrac{1}{i}<\ln (n+1)< \sum\limits_{j=1}^{n}\dfrac{1}{j}$

Bài 2:
Tìm hằng số $k$ tốt nhất sao cho BĐT sau đúng $\forall x_{i}>0(i=\overline{1,n},n \ge 2)$
$e^{\sqrt[n]{\dfrac{x_1^n+x_2^n+...+x_{n}^n}{n}}} \ge k\sqrt{\prod\limits_{j=1}^{n}(2x_{j}-1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 14-06-2011 - 17:08

[Zaraki]

Bài 1:
Đặt $H_{n}=\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{i}}$
Đặt tiếp $f(n)=H_{n}-\ln{(n+1)},f(1)=1-\ln{2}>0$
và nếu $n\geq 2$, $f(n)-f(n-1)=\dfrac{1}{n}-\ln{(1+\dfrac{1}{n})}>0$
thì $f(n)>0$, $\ln{(n+1)}<\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{i}}$
Ta có $L_{n}=\sum_{i=2}^{n+1}\dfrac{1}{i}$, và $g(n)=L_{n}-\ln{(n+1)},g(1)=\dfrac{1}{2}-\ln{2}<0$
nếu $n\geq 2$, $g(n)-g(n-1)=\dfrac{1}{n+1}-\ln{(1+\dfrac{1}{n})}<\dfrac{1}{n+1}-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^{2}})<0$
thì $g(n)<0$, $\ln{(n+1)}>\sum_{i=2}^{n+1}\dfrac{1}{i}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 29-05-2011 - 17:19

[dark templar]

Bài 1:
Đặt $H_{n}=\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{i}}$
Đặt tiếp $f(n)=H_{n}-\ln{(n+1)},f(1)=1-\ln{2}>0$
và nếu $n\geq 2$, $f(n)-f(n-1)=\dfrac{1}{n}-\ln{(1+\dfrac{1}{n})}>0$
thì $f(n)>0$, $\ln{(n+1)}<\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{i}}$
Ta có $L_{n}=\sum_{i=2}^{n+1}\dfrac{1}{i}$, và $g(n)=L_{n}-\ln{(n+1)},g(1)=\dfrac{1}{2}-\ln{2}<0$
nếu $n\geq 2$, $g(n)-g(n-1)=\dfrac{1}{n+1}-\ln{(1+\dfrac{1}{n})}<\dfrac{1}{n+1}-(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^{2}})<0$
thì $g(n)<0$, $\ln{(n+1)}>\sum_{i=2}^{n+1}\dfrac{1}{i}$

Cái quan trọng là chứng minh $\dfrac{1}{n}>\ln \left(1+\dfrac{1}{n} \right)>\dfrac{1}{n+1}$ đó em )
P/s:Thử chứng minh cái chỗ quan trọng đi nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-05-2011 - 18:28

[Lê Xuân Trường Giang]

Cái quan trọng là chứng minh $\dfrac{1}{n}>\ln \left(1+\dfrac{1}{n} \right)>\dfrac{1}{n+1}$ đó em )
P/s:Thử chứng minh cái chỗ quan trọng đi nhé

Anh thì gà khoản này nhưng cứ liên quan đến đạo hàm thì lại "máu".
Bước 1 : CM $\dfrac{1}{n} > \ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)$.
Đặt $\dfrac{1}{n} = x\left( {x > 0} \right)$
Xét hàm số :
$\begin{array}{l}f\left( t \right) = t - \ln \left( {1 + t} \right)\\f'\left( t \right) = 1 - \dfrac{1}{{1 + t}} > 0\forall \left( {t > 0} \right)\\ \Rightarrow f\left( t \right) > f\left( 0 \right) \Leftrightarrow t - \ln \left( {1 + t} \right) > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{n} > \ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\end{array}$
Bước 2 :CM $\ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \dfrac{1}{{n + 1}}$
Có $\ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \dfrac{1}{{n + 1}} \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \dfrac{1}{n}$.
Với cách đặt tương tự Bước 1 . Ta đi xét hàm số :
$\begin{array}{l}f\left( t \right) = \ln \left( {1 + t} \right) - \dfrac{t}{{1 + t}}\left( {t > 0} \right)\\f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{1 + t}} + \dfrac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}} > 0\forall \left( {t > 0} \right)\\ \Rightarrow f\left( t \right) > f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {1 + t} \right) - \dfrac{t}{{1 + t}} > 0 \Leftrightarrow \ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \dfrac{1}{{n + 1}}\end{array}$
Xong hết nha !

[dark templar]

Anh thì gà khoản này nhưng cứ liên quan đến đạo hàm thì lại "máu".
Bước 1 : CM $\dfrac{1}{n} > \ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)$.
Đặt $\dfrac{1}{n} = x\left( {x > 0} \right)$
Xét hàm số :
$\begin{array}{l}f\left( t \right) = t - \ln \left( {1 + t} \right)\\f'\left( t \right) = 1 - \dfrac{1}{{1 + t}} > 0\forall \left( {t > 0} \right)\\ \Rightarrow f\left( t \right) > f\left( 0 \right) \Leftrightarrow t - \ln \left( {1 + t} \right) > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{n} > \ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\end{array}$
Bước 2 :CM $\ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \dfrac{1}{{n + 1}}$
Có $\ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \dfrac{1}{{n + 1}} \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \dfrac{1}{n}$.
Với cách đặt tương tự Bước 1 . Ta đi xét hàm số :
$\begin{array}{l}f\left( t \right) = \ln \left( {1 + t} \right) - \dfrac{t}{{1 + t}}\left( {t > 0} \right)\\f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{1 + t}} + \dfrac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}} > 0\forall \left( {t > 0} \right)\\ \Rightarrow f\left( t \right) > f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {1 + t} \right) - \dfrac{t}{{1 + t}} > 0 \Leftrightarrow \ln \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right) > \dfrac{1}{{n + 1}}\end{array}$
Xong hết nha !

Ah chào mừng anh Giang chung vui topic của em
BĐT trên có thể chứng minh 1 cách đơn giản bằng cách áp dụng Định lý Lagrange cho hàm số $f(x)=\ln x$ trên miền $[n;n+1]$ với để ý rằng $\ln \left(1+\dfrac{1}{n} \right)=\ln (n+1) -\ln n$
P/s:Anh bầu chọn cho BĐT của em đi nhé

[dark templar]

Còn lại 1 bài 2 nữa thôi các bạn
Gợi ý: Để ý rằng:$x_{j}^2 \ge 2x_{j}-1$,từ đó suy ra $RHS \le k\prod\limits_{j=1}^{n}x_{j}$