Chủ đề này có 7 trả lời

[GaoHu_F]

Câu 1 (7.0 đ):
a) Giải phương trình:
$\sqrt{3x} + \sqrt{15-3x} = \sqrt{8x-5} $
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} xy + x + y = 3 \\ \dfrac{1}{x^2+2x} + \dfrac{1}{y^2+2y} =\dfrac{2}{3} \end{array} \right. $
Câu 2 (3.0 đ):
Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:
$ 5x^2 + 2xy + y^2 - 4x -40 = 0$
Câu 3 (6.0 đ):
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ( (O) và d không có điểm chung).M là điểm di động trên d. Vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD của (O) (A, B là các tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng:
a)$\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{BC}{BD}$ và IA=IB.
b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 4 (2.0 đ):
Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 (2.0 đ):
Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính $\dfrac{1}{4}$ chứa đa giác đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GaoHu_F: 27-06-2011 - 15:18

[NguyThang khtn]

Câu 1 (7.0 đ):
a) Giải phương trình:
$\sqrt{3x} + \sqrt{15-3x} = \sqrt{8x-5} $
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} xy + x + y = 3 \\ \dfrac{1}{x^2+2x} + \dfrac{1}{y^2+2y} =\dfrac{2}{3} \end{array} \right. $
Câu 2 (3.0 đ):
Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:
$ 5x^2 + 2xy + y^2 - 4x -40 = 0$
Câu 3 (6.0 đ):
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ( (O) và d không có điểm chung).M là điểm di động trên d. Vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD của (O) (A, B là các tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng:
a)$\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{BC}{BD}$ và IA=IB.
b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 4 (2.0 đ):
Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 (2.0 đ):
Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính $\dfrac{1}{4}$ chứa đa giác đó.

Đề này cũng ko khó lém!
Mình chém thử bài dễ nhất!
Câu 2:
$ 5x^2 + 2xy + y^2 - 4x -40 = 0$
$ \Leftrightarrow (x+y)^2+(2x-1)^2=41$
mà $ 41= (\pm5)^2+( \pm4)^2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 27-06-2011 - 18:20
Nhầm lẫn chút!

[caubeyeutoan2302]

Ý tưởng của bạn bboy114crew là đúng đấy , nhưng $41=(\pm4)^2+(\pm5)^2$ bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 27-06-2011 - 18:14

[GaoHu_F]

Ai chứng minh được IA=IB ở bài 3a thì post lên hộ nhé.

[VLTT]

Ben mathscope có rùi bạn ạ
Có hết không Trí ?

[NguyThang khtn]

Ben mathscope có rùi bạn ạ
Có hết không Trí ?

a, Ta có ACBD là tứ giác điều hòa nên $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}$
mà AB song song ND nên $\Delta{ACI} \sim \Delta{DCB}$
suy ra $\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{AC}{AD}$
mà AD=BN nên $\dfrac{IC}{IA}= \dfrac{AC}{BN}$
theo phương tích của điểm I với (O) ta có:
$\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{BN}$
từ đó ta có IA=IB
NGUON : mathscope.org

[NguyThang khtn]

Câu 4 (2.0 đ):
Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?

Chia cả 2 vế của BĐT cho abc
$ VT =\sqrt{\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+a^4bc+ab^4c+abc^4+3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}\\=\sqrt{\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac}+\dfrac{c^2}{ab}+3}\\VP=1+\sqrt[3]{\dfrac{a^4b^4c+ab^4c^4+a^4bc^4+a^5b^2c^2+a^2b^5c^2+a^2b^2c^5+2a^3b^3c^3}{a^3b^3c^3}$
$=1+\sqrt[3]{\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac}+\dfrac{c^2}{ab}+2}$
Đặt:
$\sqrt[3]{\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac}+\dfrac{c^2}{ab}+2}=x \geq 2(AM-GM)\\\Rightarrow VT=\sqrt{x^3+1}$
Ta cần c/m
$\sqrt{x^3+1} \geq x+1\\\Leftrightarrow x (x-2)(x+1) \geq 0(ok!)\\\Rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 02-07-2011 - 10:26

[GaoHu_F]

Đã có đáp án tại VnMath.com. Cảm ơn các bạn.