Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Prove that in any acute-angled triangle the following
inequality holds

$\left(\dfrac{\cos A}{\cos B}\right)^2+\left(\dfrac{\cos B}{\cos C}\right)^2+\left(\dfrac{\cos C}{\cos A}\right)^2 +8\cos A \cos B \cos C\ge 4.$

[caubeyeutoan2302]

Prove that in any acute-angled triangle the following
inequality holds

$\left(\dfrac{\cos A}{\cos B}\right)^2+\left(\dfrac{\cos B}{\cos C}\right)^2+\left(\dfrac{\cos C}{\cos A}\right)^2 +8\cos A \cos B \cos C\ge 4.$

Anh đưa ra 2 dạng chứng minh cho bài này :
Cách 1:
Thật vậy áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$2(\dfrac{cosA}{cosB})^2+(\dfrac{cosB}{cosC})^2 \ge 3.\sqrt[3]{\dfrac{cos^4A}{cos^2B.cos^2C}} \ge 3.\dfrac{cos^2A}{\sqrt[3]{cos^2A.cos^2B.cos^2C}} $
Chứng minh thêm 2 BĐT nữa và cộng lại , kết hợp với $cosA.cosB.cosC \le \dfrac{1}{8}$:
Ta có :
$3(\left(\dfrac{\cos A}{\cos B}\right)^2+\left(\dfrac{\cos B}{\cos C}\right)^2+\left(\dfrac{\cos C}{\cos A}\right)^2) \ge 3.\dfrac{cos^2A+cos^2B+cos^2C}{\sqrt[3]{cos^2A.cos^2B.cos^2C}} \ge 12(cos^2A+cos^2B+cos^2C)$
Lúc này chỉ cần cm là :$4-8cosA.cosB.cosC=4(cos^2A+cos^2B+cos^2C)$ ( Điều này đơn giản)
Cách 2:
Sử dụng Lemma: Với ba số thực dương a,b,c sao cho $a,b,c \le 1$ thì $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge a+b+c$
Còn a,b,c tượng trưng cho đại lượng nào thì dành cho các bạn nhé, mình sẽ post lời giải lên sau .
p/s: Toàn , em làm cách nào vậy

[Zaraki]

À thực ra thấy dạo này thấy box BĐT bên Olympiad có vẻ trầm quá nên em lấy tạm một bài bên Mathlink để mọi người giải cho vui, lời giải bên Mathlink là cách 2 của anh đó!