Chủ đề này có 1 trả lời

[linh1261997]

1) Chứng minh rằng $19^{2n}+5^{n}+ 2000$ $( n \in N^*)$ không là số chính phương.

2) Chứng minh rằng số $n^7+34n+5$ $( n \in N^*)$ không là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 23-08-2012 - 17:00

[nguyenta98]

1) Chứng minh rằng $19^{2n}+5^{n}+ 2000$ $( n \in N^*)$ không là số chính phương.

2) Chứng minh rằng số $n^7+34n+5$ $( n \in N^*)$ không là số chính phương.

Giải như sau:
1) $19^{2n}+5^n+2000=x^2$
Nếu $n=1,2$ thì dễ xét rồi
Nếu $n\geq 3$ ta có $19^{2n}+5^n+2000=x^2 \Leftrightarrow (19^n)^2+5^n+2000>19^n$
Mặt khác $(19^n)^2+5^n+2000<(19^n+1)^2=19^{2n}+19^n+19^n+1$ (do $n\geq 3$ nên $19^n+1>2000$ và $19^n>5^n$
Do đó $(19^n)^2<x^2<(19^n+1)^2$ vô lý
2) $n^7+34n+5=n(n^6+34)+5=t^2$
Ta thấy nếu $n \vdots 7 \Rightarrow n(n^6+34)+5 \equiv 5 \pmod{7}$ vô lý vì $t^2 \equiv 0,1,2,4$
Nếu $n \not \vdots 7$ suy ra theo Fermat nhỏ thì $n^6 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow n^6+34 \vdots 7$ nên $VT \equiv 5 \pmod{7}$ cũng vô lý