Đến nội dung

Hình ảnh

bài bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
HD.Nhat

HD.Nhat

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
Cho $a_1 < a_2 < a_3<...< a_n$. Chứng minh rằng:

$a_1 a_2^4+ a_2 a_3^4+... a_n.a_1^4 \geq a_2a_1^4+ a_3a_2^4 +...+ a_1 a_n^4$


Mod:Đây là cách hiểu của mình về đề bài của bạn.Nếu bạn thấy có chỗ cần chỉnh sửa,có thể gửi tin nhắn cho mình.Và điều quan trọng là bạn nên học gõ Latex trước khi post bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 31-08-2011 - 10:01


#2
Holigan2008

Holigan2008

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Chứng minh bằng quy nạp.

Với $n = 2$, bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức.

Giả sử bất đẳng thức đúng tới n, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n + 1$

Cần chứng minh:

${a_1}a_2^4 + ... + {a_{n - 1}}a_n^4 + {a_n}a_{n + 1}^4 + {a_{n + 1}}a_1^4 \ge {a_2}a_1^4 + ... + {a_n}a_{n - 1}^4 + {a_{n + 1}}a_n^4 + {a_1}a_{n + 1}^4$
Theo giả thiết quy nạp: 
${a_1}a_2^4 + ... + {a_{n - 1}}a_n^4 \ge {a_2}a_1^4 + ... + {a_n}a_{n - 1}^4 + {a_1}a_n^4 - {a_n}a_1^4$
 

Vậy, cần chứng minh bất đẳng thức:

${a_1}a_n^4 - {a_n}a_1^4 + {a_n}a_{n + 1}^4 + {a_{n + 1}}a_1^4 \ge {a_{n + 1}}a_n^4 + {a_1}a_{n + 1}^4$
do ${a_1} < {a_n} < {a_{n + 1}}$, và bất đẳng thức cuối có thể viết lại dưới dạng:
$\left( {{a_{n + 1}} - {a_1}} \right)\left( {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right)\left( {{a_n} - {a_1}} \right)\left( {a_1^2 + a_n^2 + a_{n + 1}^2 + {a_1}{a_n} + {a_1}{a_{n + 1}} + {a_n}{a_{n + 1}}} \right) \ge 0$
nên theo nguyên lý quy nạp, bất đẳng thức được chứng minh

 

 

 

 

 

 

 

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh