Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển lớp 10 chuyên Quang Trung, Bình Phước


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 CHUYÊN QUANG TRUNG,BÌNH PHƯỚC


Năm học 2011-2012


Câu 1: Giải hệ phương trình:$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 (y + 1) = 6y - 2 \\ x^4 y^2 + 2x^2 y^2 + y(x^2 + 1) = 12y^2 - 1 \\ \end{array} \right.$

Câu 2: Giải phương trình : $ x=\sqrt{2-x}.\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{2-x}$

Câu 3: a) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: $p^2+11$ chia hết cho 12
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $ p$ sao cho số $p^2+11$ chỉ có đúng 6 ước số ( kể cả 1 và chính nó)

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ cố định, hai đỉnh $B,C$ thay đổi trên đường thẳng $d$ cố định sao cho hình chiếu $H$ của $A$ trên $d$ nằm giữa hai điểm $B$ và $C$ đồng thời $HB.HC$ là một số khộng đổi. Gọi $D$ là hình chiếu của $H$ trên $AB, E$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$.
a) Gọi $P$ là giao điểm của $AH$ với $DE, Q$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh rằng $BDPQ$ là tứ giác nội tiếp và $P, Q$ là các điểm cố định.
b) Gọi $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tan giác $HDE$ tại $D$ và $E$. Tìm quỹ tích của điểm $S$.

Câu 5: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=1.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :$P=\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}$

Câu 6: Có m bạn nữ và n bạn nam cùng tham gia kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán. Biết rằng:
a) Mỗi bạn nữ đều quen với ít nhất một bạn nam
b) Bất cứ hai bạn nữ nào $M_1,M_2$ và bất cứ hai ban nam$N_1,N_2$ nào: nếu $M_1$ quen $N_1$ và $M_2$ quen $N_2$ thì trong hai cặp $(M_1;N_2)$ và $(M_2;N_1)$ có ít nhất một cặp gồm hai bạn quen nhau. Chứng minh rằng có ít nhất một bạn nam quen tất cả các bạn nữ.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Câu 3: a) Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: $p^2+11$ chia hết cho 12.

Gớm, mất công post cái đề mà chả ai làm, chán ghê!
Thôi thì giải 1 bài trước vậy.
Do $12=3.4$, ta chứng minh $p^2+11$ chia hêt cho $3$ và $4$.

+ Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, nên $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Do đó $p^2 +11 \equiv 0 \pmod{3}$.
+ Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, nên $p^2 \equiv 1 \pmod{4}$. Do đó $p^2+11 \equiv 0 \pmod{4}$.

Đây rút ra đpcm. :icon1:

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
cau b $ p^{2}+11$ co cac uoc $ 1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,12 \forall p>3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 10-09-2011 - 17:46


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Khoái câu 6 nhất :icon1:
Câu 6
Giả sử không có bạn nam nào quen m bạn nữ. Suy ra, mỗi bạn nam quen nhiều nhất m-1 bạn nữ. :Rightarrow
Gọi $N_i$ là bạn nam quen nhiều bạn nữ nhất.(**)
Do :D nên tồn tại 1 bạn nữ $M_x$ mà $N_i$ không quen.
Theo gt a) thì $M_x$ chắc chắn phải quen một bạn nam $N_j \neq N_i$
Gọi $M_a$ là một trong các bạn nữ mà $N_i$ quen.
Xét 2 cặp $(N_i;M_a);(N_j;M_x)$ thì theo gt b) thì chắc chắn $N_j$ phải quen $M_a$ (do $M_x$ và $N_i$ không quen)
Chọn tiếp $M_b$ là một bạn nữ khác $M_a$ mà $N_i$ quen. Lý luận tương tự thì $N_j$ quen $M_b$.
Tiếp tục vậy, thì $N_j$ quen tất cả các bạn nữ mà $N_i$ quen. Hơn nữa, $N_j$ lại quen $M_x$ mà $N_i$ không quen $M_x$ nên $N_j$ quen nhiều bạn nữ hơn $N_i$ (trái (**))
Vậy điều giả sử ban đầu là sai nên ta có đpcm.

p/s: bằng cách lý luận như trên, có thể dùng phương pháp cực hạn để cm mà không dùng phản chứng :Rightarrow
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết

Câu 5: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=1.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :$P=\dfrac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}$


$ \sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}= \sqrt{4a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}}\geq \sqrt{4a^{2}+b^{2}+4ab}\geq 2a+b$
$\Rightarrow \sum \dfrac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}\leq \sum \dfrac{1}{2a+b}=\sum \dfrac{1}{a+a+b}\leq \sum (\dfrac{(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})}{9})\leq \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq \sqrt{(\sum \dfrac{1}{a^{2}})\dfrac{1}{3}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$


#6
hammetoan

hammetoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
Đặt $ a= \sqrt{2-x}, b= \sqrt{3-x}, c= \sqrt{2-x} $
suy ra $ x= 2-a^2=3-b^2=3-c^2 $
từ đó suy ra $ ab+bc+ca+a^2=2 $
$ ab+bc+ca+b^2=3 $
$ ab+bc+ca+c^2=5$

tương đương vs $ (a+b) (a+c) =2 $
$ (a+b) (b+c) =3 $
$ (b+c) (a+c) =5 $
suy ra $ (a+b) (a+c) (b+c) = \sqrt{30} $
vậy ta được hệ: $ b+c= \dfrac{ \sqrt{30} }{2} $ (1)
$ a+c= \dfrac{ \sqrt{30} }{3} $ (2)
$ b+a= \dfrac{ \sqrt{30} }{5} = \dfrac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{5} } $
từ (1) và (2 ) suy ra $ b-a=\dfrac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{6} } $
suy ra $ b= \dfrac{11}{2 \sqrt{30} } $

$ x= \dfrac{239}{120} $

#7
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
Sao bài này các anh lại chuyển vào box toán cấp 3. Đề này khó quá
Bài 1 ta có cặp nghiệm duy nhất là: (0;1/3)
Các anh có cách giải nào không. Em chỉ thử được 1 nghiệm như vậy thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 10-09-2011 - 23:02

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#8
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Câu 2.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^2+11$ có $6$ ước (kể cả $1$ và chính nó).

Giải. Nhận thấy $12=2^2.3^1$ có tất cả $(2+1)(1+1)=6$ ước.
Đồng thời với mọi số nguyên tố $p \ge 5$ thì $p^2+11$ có dạng $12k \ (k \in \mathbb{N})$ có nhiều hơn $6$ ước.
Thử trực tiếp với $p=2,3$ thì thấy $p=3$ thỏa mãn.
Vậy số nguyên tố thỏa mãn đề bài là $\boxed{p=3}$.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#9
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Câu 1.
Từ PT thứ nhất, ta thấy $x^2 = \dfrac{6y-2}{y+1}$, thay vào PT thứ hai, ta được:
$ \dfrac{(6y-2)^2y^2}{(y+1)^2} + 2 \dfrac{(6y-2)y^2}{y+1} + y( \dfrac{6y-2}{y+1} + 1) = 12y^2 - 1$
Biến đổi biểu thức này, ta được:
$ (6y-2)^2y^2 + 2 (6y-2)(y+1)y^2 + y(7y-1) (y+1)= (12y^2 - 1)(y+1)^2$
hay $36y^4-33y^3-5y^2+y+1=0 \Leftrightarrow (y-1)(3y-1)(12y^2+5y+1)=0$.
PT này có hai nghiệm là $y=1, y = \dfrac{1}{3}$.
Từ đó thay vào tính được $y=1 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}, y = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x= 0$.
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm phân biệt như trên.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh