Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-11-2011 - 16:20
Tìm $n$ nguyên dương để $20^n - 13^n - 7^n \vdots 309$
Bắt đầu bởi Zaraki, 06-11-2011 - 16:19
Argentina TST 2009
#1
Đã gửi 06-11-2011 - 16:19
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Tìm $n$ nguyên dương để $20^n - 13^n - 7^n \vdots 309$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 06-11-2011 - 17:28
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Trước tiên ta có $309=3.103$
và $103$ nguyên tố.
Lại có theo định lý Fermat nhỏ $20^{102}$ chia $103$ dư $1$ (do $103$ nguyên tố) Suy ra $20^{103}$ chia $103$ dư $20$.
Tương tự $13^{102}$ chia $103$ dư $1$ suy ra $13^{103}$ chia $103$ dư $13$.
Tương tự cũng suy ra $7^{103}$ chia $103$ dư $7$ (cũng chú ý 1 điều là $20,17,7$ nguyên tố cùng nhau với $103$)
Suy ra $20^{103}-13^{103}-7^{103} \equiv 20-13-7 = 0 \pmod{103}$
Lại dễ thấy với bất cứ trường hợp nào của n thì $20^n-13^n-7^n$ cũng chia hết cho 3
Vậy nên câu trả lời là $n$ có dạng $103k$
Biện luận bài toán có vô hạn nghiệm dạng 103k vì khi đó biến thành $(20^k)^{103}$ và tương tự với $7$ và $13$.
Mod. Đồng dư, nếu muốn gõ $a^2 \equiv 1 \pmod{b}$ ta viết
và $103$ nguyên tố.
Lại có theo định lý Fermat nhỏ $20^{102}$ chia $103$ dư $1$ (do $103$ nguyên tố) Suy ra $20^{103}$ chia $103$ dư $20$.
Tương tự $13^{102}$ chia $103$ dư $1$ suy ra $13^{103}$ chia $103$ dư $13$.
Tương tự cũng suy ra $7^{103}$ chia $103$ dư $7$ (cũng chú ý 1 điều là $20,17,7$ nguyên tố cùng nhau với $103$)
Suy ra $20^{103}-13^{103}-7^{103} \equiv 20-13-7 = 0 \pmod{103}$
Lại dễ thấy với bất cứ trường hợp nào của n thì $20^n-13^n-7^n$ cũng chia hết cho 3
Vậy nên câu trả lời là $n$ có dạng $103k$
Biện luận bài toán có vô hạn nghiệm dạng 103k vì khi đó biến thành $(20^k)^{103}$ và tương tự với $7$ và $13$.
Mod. Đồng dư, nếu muốn gõ $a^2 \equiv 1 \pmod{b}$ ta viết
[/color]
$a^2 \equiv 1 \pmod{b}$
[color=#ff0000]Đề nghị bạn nên học nhiều hơn về công thức toán $\LaTeX$, hơn nữa hãy dùng $\LaTeX$ thường xuyên hơn, và gõ viết hoa đầu dòng. (như vậy sẽ làm cho việc trình bày lời giải của bạn thêm đẹp mắt hơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-11-2011 - 21:40
- Joker9999 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
