Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^2+q^3$ và $q^2+p^3$ là các số chính phương.
Tìm cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^2+q^3$ và $q^2+p^3$ chính phương
Bắt đầu bởi Zaraki, 06-11-2011 - 22:17
#1
Đã gửi 06-11-2011 - 22:17
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
- Tea Coffee yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 06-11-2011 - 23:01
hxthanh
-
- Hiệp sỹ
-
- 3921 Bài viết
Tín đồ $\sum$
Mình giải thế này không biết có được không
$p^2+q^3=k^2;\;\;(k\in\mathbb{N}^*)$
$q^3=(k+p)(k-p)$
Vì $gcd(k+p;k-p) \in \{1,p,2p\}$ nên ta có: $\begin{cases}q^2=k+p \\ q=k-p\end{cases}\;\; (1)$
hoặc $q^2=p^2\;\;(2)$
(1) Suy ra: $q(q-1)=2p\Rightarrow p=q=3$ vì trường hợp $q=2\Rightarrow p=1$ (loại)
(2) Thay vào ta có $p^2+p^3=k^2\Rightarrow p^2(p+1)=k^2\Rightarrow p+1=m^2;\;\;(k\in\mathbb{N}^*)$
Suy ra $p=(m-1)(m+1)\Rightarrow m-1=1\Rightarrow p=3$
Thử lại $3^2+3^3=9+27=36=6^2$
Vậy $(p,q)=(3,3)$ là cặp duy nhất cần tìm!
$p^2+q^3=k^2;\;\;(k\in\mathbb{N}^*)$
$q^3=(k+p)(k-p)$
Vì $gcd(k+p;k-p) \in \{1,p,2p\}$ nên ta có: $\begin{cases}q^2=k+p \\ q=k-p\end{cases}\;\; (1)$
hoặc $q^2=p^2\;\;(2)$
(1) Suy ra: $q(q-1)=2p\Rightarrow p=q=3$ vì trường hợp $q=2\Rightarrow p=1$ (loại)
(2) Thay vào ta có $p^2+p^3=k^2\Rightarrow p^2(p+1)=k^2\Rightarrow p+1=m^2;\;\;(k\in\mathbb{N}^*)$
Suy ra $p=(m-1)(m+1)\Rightarrow m-1=1\Rightarrow p=3$
Thử lại $3^2+3^3=9+27=36=6^2$
Vậy $(p,q)=(3,3)$ là cặp duy nhất cần tìm!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UEVOLI: 06-11-2011 - 23:18
- perfectstrong, Zaraki, phanquockhanh và 4 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
