Cho $x,y\in\mathbb{N}$ và $\gcd(x,y)=1$.
Chứng minh rằng nếu $x+3y^2$ chính phương thì $x^2+9y^4$ không là số chính phương.
Chứng minh $x^2+9y^4$ không chính phương
Bắt đầu bởi Zaraki, 12-11-2011 - 17:39
#1
Đã gửi 12-11-2011 - 17:39
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 12-11-2011 - 22:35
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Ta có giả sử $x^2+9y^4=a^2$
Theo bộ ba số pytago ta có : (cái này các bạn có thể tham khảo ở một số sách, cần thiết mình sẽ chứng minh)
TH1 $x=2mn$ suy ra $3y^2=m^2-n^2$ ($m$>$n$)
Suy ra
$x+3y^2=m^2-n^2+2mn=(m+n)^2-2n^2 <1>$
Vì $x+3y^2$ Là số chính phương nên đặt nó bằng $t^2$
Do đó từ $<1>$ suy ra $(m+n)^2-2n^2=t^2 \rightarrow m+n=a^2+2b^2, n=2ab \rightarrow m=a^2+2b^2-2ab$
Mặt khác do $3y^2=m^2-n^2 \rightarrow n^2+3y^2=m^2 \rightarrow y=2kq,n=k^2-3q^2,m=k^2+3q^2$
Do đó $m-n=6q^2 \rightarrow (a-2b)^2=6q^2+2b^2<2>$
Phương trình $<2>$ vô nghiệm (dùng phương pháp lùi vô hạn) do đó có $đpcm$
TH2 là $x=m^2-n^2$ và $3y^2=2mn$ các bạn làm tương tự có điều vất vả hơn tí
Vậy bài toán không có $x$,$y$
Sau đây là lời giải 5 trang của mình (chuẩn)
Theo bộ ba số pytago ta có : (cái này các bạn có thể tham khảo ở một số sách, cần thiết mình sẽ chứng minh)
TH1 $x=2mn$ suy ra $3y^2=m^2-n^2$ ($m$>$n$)
Suy ra
$x+3y^2=m^2-n^2+2mn=(m+n)^2-2n^2 <1>$
Vì $x+3y^2$ Là số chính phương nên đặt nó bằng $t^2$
Do đó từ $<1>$ suy ra $(m+n)^2-2n^2=t^2 \rightarrow m+n=a^2+2b^2, n=2ab \rightarrow m=a^2+2b^2-2ab$
Mặt khác do $3y^2=m^2-n^2 \rightarrow n^2+3y^2=m^2 \rightarrow y=2kq,n=k^2-3q^2,m=k^2+3q^2$
Do đó $m-n=6q^2 \rightarrow (a-2b)^2=6q^2+2b^2<2>$
Phương trình $<2>$ vô nghiệm (dùng phương pháp lùi vô hạn) do đó có $đpcm$
TH2 là $x=m^2-n^2$ và $3y^2=2mn$ các bạn làm tương tự có điều vất vả hơn tí
Vậy bài toán không có $x$,$y$
Sau đây là lời giải 5 trang của mình (chuẩn)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 20-05-2012 - 23:10
- hxthanh, Zaraki, nloan2k1 và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
