Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c$ nguyên với $a + b + c = (a-b)(b-c)(c-a)$.CM $a+b+c \vdots 27$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
superbatman

superbatman

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
Cho $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn: $$a + b + c = (a-b)(b-c)(c-a)$$. Chứng minh $a + b + c$ chia hết cho $27$.

Mod. Hãy học gõ công thức toán và viết công thức toán lên tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-11-2011 - 17:03


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
Giải như sau:
TH1: $a,b,c$ có các số dư khác nhau khi chia cho 3
Suy ra $a+b+c$ chia hết cho 3 trong khi đó $(a-b)(b-c)(c-a)$ không chia hết cho 3 (do cả 3 số ta đã giả sử không có 2 số nào có cùng số dư)
TH2: $a,b,c$ đều có cùng số dư khi chia 3 suy ra mọi việc xong vì khi đó $(a-b)(b-c)(c-a)$ chia hết cho 27 suy ra $a+b+c$ chia hết cho 27 (dpcm).
Th3: $a,b,c$ chỉ tồn tại duy nhất 1 cặp có cùng số dư chia cô 3 (vì nếu tồn tại 2 cặp thì 3 số sẽ cùng số dư quay về TH2) (1)
Suy ra $a+b+c \equiv 0,1\mod{3}$ (do chỉ có 1 cặp cùng số dư) hay nói cách khác là $a+b+c$ không chia hết cho 3 suy ra vô lý vì
$(a-b)(b-c)(c-a)$ có một số chia hết cho 3 (do (1))
Tóm lại chỉ có TH2 được nhận hay $a+b+c$ chia hết cho 27

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-11-2011 - 14:07


#3
superbatman

superbatman

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Giải như sau:
TH1: $a,b,c$ có các số dư khác nhau khi chia cho 3
Suy ra $a+b+c$ chia hết cho 3 trong khi đó $(a-b)(b-c)(c-a)$ không chia hết cho 3 (do cả 3 số ta đã giả sử không có 2 số nào có cùng số dư)
TH2: $a,b,c$ đều có cùng số dư khi chia 3 suy ra mọi việc xong vì khi đó $(a-b)(b-c)(c-a)$ chia hết cho 27 suy ra $a+b+c$ chia hết cho 27 (dpcm).
Th3: $a,b,c$ chỉ tồn tại duy nhất 1 cặp có cùng số dư chia cô 3 (vì nếu tồn tại 2 cặp thì 3 số sẽ cùng số dư quay về TH2) (1)
Suy ra $a+b+c \equiv 0,1\mod{3}$ (do chỉ có 1 cặp cùng số dư) hay nói cách khác là $a+b+c$ không chia hết cho 3 suy ra vô lý vì
$(a-b)(b-c)(c-a)$ có một số chia hết cho 3 (do (1))
Tóm lại chỉ có TH2 được nhận hay $a+b+c$ chia hết cho 27

sao phức tạp quá

#4
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Học toán nâng cao phải chịu thôi :icon6: . Bài giải ở trên là đúng rồi đó

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh