Chủ đề này có 3 trả lời

[banhbaocua1]

Cho $b^{2}-4ac$ và $b^{2}+4ac$ chính phương. CMR: $abc \vdots 30$.

Mod: Gõ Tiếng Việt có dấu.

[123123talackoka]

Bạn ơi, tui nghĩ cho a,b,c là các số tự nhiên chứ.Nếu a,b,c là các số tự nhiên thì tui giải cho nè:
Đặt $b^{2}-4ac=x^{2};b^{2}+4ac=y^{2}\Rightarrow b^{2}-x^{2}=4ac(1);b^{2}-y^{2}=4ac(2)$.Ta có (1)-(2)=$y^{2}-x^{2}=(x+y)(x-y)=0\Rightarrow x-y=0,(x+y)=0\Rightarrow x=y=0.Suy ra abc=0\vdots 30.Đpcm$



P/s: Các bạn ơi!có j sai sót mog chỉ bảo nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123123talackoka: 05-12-2011 - 17:40

[ChuDong2008]

Bạn ơi, tui nghĩ cho a,b,c là các số tự nhiên chứ.Nếu a,b,c là các số tự nhiên thì tui giải cho nè:
Đặt $b^{2}-4ac=x^{2};b^{2}+4ac=y^{2}\Rightarrow b^{2}-x^{2}=4ac(1);b^{2}-y^{2}=4ac(2)$.Ta có (1)-(2)=$y^{2}-x^{2}=(x+y)(x-y)=0\Rightarrow x-y=0,(x+y)=0\Rightarrow x=y=0.Suy ra abc=0\vdots 30.Đpcm$



P/s: Các bạn ơi!có j sai sót mog chỉ bảo nha

Cái (2) Sai
$ b^2 - y^2 = -4ac$

[perfectstrong]

Lời giải:
$\boxed{1}$ Ta cần chứng minh $abc \vdots 2$(1)
-Nếu $b \vdots 2 \Rightarrow $ (1) đúng.
-Nếu $b \not \vdots 2$ thì b lẻ $\Rightarrow b^2 \equiv 1(\bmod 8)$ và $b^2+4ac$ lẻ. Mà $b^2+4ac$ là số chính phương.
Suy ra $b^2+4ac \equiv 1 (\bmod 8) \Rightarrow 4ac \equiv 0 (\bmod 8) \Rightarrow ac \vdots 2 \Rightarrow$ (1) đúng.
=======================================
$\boxed{2}$ Ta cần chứng minh $abc \vdots 3$(2)
-Nếu $b \vdots 3 \Rightarrow $ (2) đúng.
-Nếu $b \not \vdots 3 \Rightarrow b^2 \equiv 1(\bmod 3)$
$b^2+4ac \equiv 1+ac (\bmod 3)$. Do $b^2+4ac$ là số chính phương nên $b^2+4ac$ chia 3 dư 0 hoặc 1.
Nếu $b^2+4ac \equiv 0 (\bmod 3) \Rightarrow 1+ac \equiv 0 (\bmod 3) \Rightarrow ac \equiv -1 (\bmod 3)$
$\Rightarrow b^2-4ac \equiv 1 - 4.(-1) \equiv 2 (\bmod 3)$: vô lý vì $b^2-4ac$ là số chính phương.
Do đó, $b^2+4ac \equiv 1(\bmod 3) \Rightarrow 1+ac \equiv 1 (\bmod 3) \Rightarrow ac \equiv 0 (\bmod 3) \Rightarrow$ (2) đúng.
=======================================
$\boxed{3}$ Ta cần chứng minh $abc \vdots 5$ (3)
Nhận xét: Số chính phương chia 5 dư 1 hoặc -1.
-Nếu $b \vdots 5 \Rightarrow$ (3) đúng.
-Nếu $b \not \vdots 5$.
TH1: $b^2 \equiv 1 (\bmod 5)$
$b^2+4ac \equiv 1-ac (\bmod 5)$.
Nếu $b^2+4ac \equiv -1(\bmod 5) \Rightarrow 1-ac \equiv -1(\bmod 5) \Rightarrow ac \equiv 2(\bmod 5)$
$\Rightarrow b^2-4ac \equiv 1+ac \equiv 3(\bmod 5)$: vô lý do $b^2-4ac$ là số chính phương.
Do đó, $b^2+4ac \equiv 1(\bmod 5) \Rightarrow 1-ac \equiv 1(\bmod 5) \Rightarrow ac \equiv 0(\bmod 5) \Rightarrow$ (3) đúng.
TH2: $b^2 \equiv -1(\bmod 5)$
Nếu $b^2+4ac \equiv 1(\bmod 5) \Rightarrow -1-ac \equiv 1(\bmod 5) \Rightarrow ac \equiv -2(\bmod 5)$
$\Rightarrow b^2-4ac \equiv -1-4.(-2) \equiv 2 (\bmod 5)$: vô lý vì $b^2-4ac$ là số chính phương.
Do đó, $b^2+4ac \equiv -1(\bmod 5) \Rightarrow -1-ac \equiv -1 (\bmod 5) \Rightarrow ac \equiv 0(\bmod 5) \Rightarrow$ (3) đúng.
=====================================
Do $(2;3;5)=1$ và do (1);(2);(3) nên ta có đpcm.