Tìm p,q nguyên tố để $p^2+3pq+q^2$ chính phương.
Tìm p,q nguyên tố để $p^2+3pq+q^2$ chính phương.
Bắt đầu bởi ChuDong2008, 04-12-2011 - 14:25
#1
Đã gửi 04-12-2011 - 14:25
ChuDong2008
-
- Thành viên
-
- 119 Bài viết
Trung sĩ
1 + 1 = 2 thì 2 - ..?... = 1 ? " Đau đầu quá! "
#2
Đã gửi 04-12-2011 - 14:47
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Giải như sau:
Từ đề bài đặt $p^2+3pq+q^2=a^2$
Suy ra $(p+q)^2+pq=a^2$
Do đó: $pq=(a-p-q)(a+p+q)$ và $a+p+q>a-p-q$
Nhận thấy vì $p,q$ là số nguyên tố nên ta chỉ xét 2 TH sau:
TH1: $a-p-q=1$và $a+p+q=pq$
Suy ra $a=1+p+q$ và $a=pq-p-q$
Kết hợp suy ra $1+p+q=pq-p-q$ suy ra $pq-2p-2q-1=0$ suy ra $(p-2)(q-2)=5$ suy ra $(p,q)=(3,7),(7,3)$
TH2: Nếu $a+p+q=q$ <1> (trường hợp bằng $p$ tương tự)
Khi đó $a-p-q=p$ <2> Kết hợp <2> và <1> có $q+3p=0$ vô lý
Tóm lại bài chỉ có nghiệm $\boxed{(p,q)=(3,7),(7,3)}$
Từ đề bài đặt $p^2+3pq+q^2=a^2$
Suy ra $(p+q)^2+pq=a^2$
Do đó: $pq=(a-p-q)(a+p+q)$ và $a+p+q>a-p-q$
Nhận thấy vì $p,q$ là số nguyên tố nên ta chỉ xét 2 TH sau:
TH1: $a-p-q=1$và $a+p+q=pq$
Suy ra $a=1+p+q$ và $a=pq-p-q$
Kết hợp suy ra $1+p+q=pq-p-q$ suy ra $pq-2p-2q-1=0$ suy ra $(p-2)(q-2)=5$ suy ra $(p,q)=(3,7),(7,3)$
TH2: Nếu $a+p+q=q$ <1> (trường hợp bằng $p$ tương tự)
Khi đó $a-p-q=p$ <2> Kết hợp <2> và <1> có $q+3p=0$ vô lý
Tóm lại bài chỉ có nghiệm $\boxed{(p,q)=(3,7),(7,3)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 04-12-2011 - 16:43
- HÀ QUỐC ĐẠT yêu thích
#3
Đã gửi 04-12-2011 - 16:29
Khải Hoàn
-
- Thành viên
-
- 30 Bài viết
Binh nhất
Ở trên có một chỗ bạn viết sai rồi pq chữ không phải là 5pq
“Tôi cho rằng khi bạn làm một điều gì đó tốt thì bạn nên cố gắng tạo ra những điều tốt hơn nữa. Đừng chìm đắm trong thành công quá lâu mà phải tạo ra những thành công mới” - Steve Jobs
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
