Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn các điều kiện sau:
$a)$ $n^2=(a+1)^3-a^3$
$b)$ $2n+119$ là số chính phương.

India IMO Training Camp 2011

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 11-12-2011 - 22:04

[nguyenta98]

Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn các điều kiện sau:
$a)$ $n^2=(a+1)^3-a^3$
$b)$ $2n+119$ là số chính phương.

India IMO Training Camp 2011

Cuối cùng cũng giải ra bài này
Giải như sau:
Ta giải riêng từng phần

• a) $n^2=(a+1)^3-a^3=3a^2+3a+1$

Suy ra $(2n)^2=12a^2+12a+4 \Rightarrow (2n-1)(2n+1)=3(4a^2+4a+1)=3(2a+1)^2$
Do đó $\left(\dfrac{2n-1}{3}\right).(2n+1)=(2a+1)^2$ hoặc $(2n-1).\left(\dfrac{2n+1}{3}\right)=(2a+1)^2$
Mặt khác do $gcd(2n-1,2n+1)=gcd(2,2n+1)=1$ do đó $gcd \left(\left(\dfrac{2n-1}{3}\right);(2n+1) \right)=gcd \left((2n-1);\left(\dfrac{2n+1}{3}\right)\right)=1$
Suy ra
TH1: $\left(\dfrac{2n-1}{3}\right)=x^2$ và $2n+1=y^2$
$\Rightarrow y^2-3x^2=2 \rightarrow y^2=3x^2+2$ vô lý do $y^2$ chính phương
TH2: $2n-1=x^2$ và $\left(\dfrac{2n+1}{3}\right)=y^2$
Suy ra từ $2n-1=x^2$ ta có ngay $x$ là số lẻ suy ra $x=2m+1$
Do đó $2n-1=(2m+1)^2 \rightarrow n=2m^2+2m+1$

• b) Từ câu a) ta áp dụng vào câu b)

Ta đã chứng minh ở câu a) rằng $n=2m^2+2m+1$
Suy ra $2n+119=k^2 \rightarrow 2(2m^2+2m+1)+119=k^2 \rightarrow 4m^2+4m+121=k^2 \rightarrow (2m+1)^2+120=k^2 \rightarrow (k-2m-1)(k+2m+1)=120$
Vì $k-2m-1,k+2m+1$ cùng tính chẵn lẻ mà tích chẵn nên chúng cùng chẵn
Suy ra $(k-2m-1,k+2m+1)=(2,60),(4,30),(6,20),(10,12)$
Do đó $m=14,6,3,0 \rightarrow n=421,85,25,1$
Thay vào điều kiện $a$ suy ra chỉ có $n=1$ thỏa mãn
Vậy $\boxed{n=1}$

P/S chú ý nếu có tính toán thiếu thì mai mình kiểm tra lại h đi ngủ oáp oáp