Chủ đề này có 3 trả lời

[go out]

Tính $A=\lim\limits_{x\to 1} \left(\dfrac{m}{1 - x^m} + \dfrac{n}{1-x^n}\right)$
_________________________________________________________
Mod@: Tiêu đề cần phải phù hợp với nội dung!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-12-2011 - 23:09
Title fixed

[E. Galois]

Đặt
$$f(x) = \dfrac{m}{1-x^m}+\dfrac{n}{1-x^n}$$
TH1) Với $m,n$ là các số nguyên dương, ta có:
$$f(x)=\dfrac{1}{1-x}\left ( \dfrac{m}{1+x+...+x^{m-1}}+\dfrac{n}{1+x+...+x^{n-1}} \right )$$
Ta có:
$$\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \dfrac{m}{1+x+...+x^{m-1}}+\dfrac{n}{1+x+...+x^{n-1}} \right )=2 > 0;\lim_{x\rightarrow 1}(1-x) = 0$$
$$1-x>0, \forall x < 1; 1-x<0, \forall x > 1$$
Nên:
$$\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x) = +\infty;\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x) = -\infty$$
Vậy không tồn tại giới hạn cần tìm.

TH2) Với $m,n$ bất kì, ...

[go out]

Tính $A=\lim\limits_{x\to 1} \left(\dfrac{m}{1 - x^m} - \dfrac{n}{1-x^n}\right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi go out: 17-12-2011 - 11:53

[E. Galois]

Không giảm tổng quát, ta giả sử $m>n$
Đặt
$$f(x) = \dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}$$
TH1) Với $m,n$ là các số nguyên dương, ta có:
$$f(x)=\dfrac{1}{1-x}\left ( \dfrac{m}{1+x+...+x^{m-1}}-\dfrac{n}{1+x+...+x^{n-1}} \right )$$
$$=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{g(x)}{\sum_{i=1}^{m-1}x^i.\sum_{j=1}^{n-1}x^j}$$
Trong đó:
$$g(x)=m(1+x+...+x^{n-1})-n(1+x+...+x^{m-1})$$
$$=(x-1)\left ( m\left [x^{n-2}+2x^{n-3}+...+(n-1) \right ]-n \left [x^{m-2}+2x^{m-3}+...+(m-1) \right ]\right)$$
Vậy:
$L=\lim_{x\rightarrow 1}f(x) $

$= -\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{ m\left [x^{n-2}+2x^{n-3}+...+(n-1) \right ]-n \left [x^{m-2}+2x^{m-3}+...+(m-1) \right ]}{\sum_{i=1}^{m-1}x^i.\sum_{j=1}^{n-1}x^j} $

$=\dfrac{m-n}{2}$