Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{b}+b^{a}=c$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
taubietrui

taubietrui

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
tìm 3 số nguyên tố a b c sao cho $a^{b}+b^{a}=c$

#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
Giải như sau:
Th1: Cả $a,b$ đều nguyên tố và $>2$ <1> suy ra $a,b$ lẻ nên $a^b+b^a$ chẵn
Lại có $a^b+b^a=c$ với $c$ nguyên tố chẵn suy ra vô lý vì theo <1> thì $a^b+b^a\geq 54$
Th2: $a=b=2$ suy ra loại
Th3: Một trong 2 số $a,b$ bằng 2 <2>
Suy ra giả sử $a=2$ (không mất tính tổng quát)
Viết lại đề bài: $2^b+b^2=c$ với ($c$ nguyên tố)
Do <2> nên $b$ khác 2 suy ra $b\geq 3$
Nếu $b=3$ suy ra chọn như vậy $(a,b,c)=(2,3,17),(3,2,17)$
Nếu $b>3$ suy ra $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$ (do $b$ nguyên tố) <3>
Lại có $b$ lẻ nên $b=2k+1$
Suy ra $2^b=2^{2k+1}=4^k.2 \equiv 2 \pmod{3}$ <4>
Từ <3> <4> suy ra $2^b+b^2$ chia hết cho 3 và $2^b+b^2>3$ nên $c$ chia hết cho 3 vô lý
Vậy tóm lại bài có các đáp số: $\boxed{(a,b,c)=(2,3,17),(3,2,17)}$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh