tìm 3 số hữu tỉ dương a b c sao cho $a+\dfrac{1}{a}$, $b+\dfrac{1}{b}$, $c+\dfrac{1}{c}$ là 3 số nguyên dương
$a+\dfrac{1}{a}$, $b+\dfrac{1}{b}$, $c+\dfrac{1}{c}$
Bắt đầu bởi nguoingudong, 20-12-2011 - 10:47
#1
Đã gửi 20-12-2011 - 10:47
- chardhdmovies và Khoa Linh thích
#2
Đã gửi 20-12-2011 - 13:32
Giải như sau:
Ta chỉ xét trường hợp số $a$ thôi vì 2 số còn lại thì tương tự.
Như vậy ta chỉ tìm $a$ hữu tỉ dương thỏa mãn $a+\dfrac{1}{a}$ nguyên dương là được
Th1: $a$ là số hữu tỉ dương. Nên đặt $a=\dfrac{m}{n}$ Với $gcd(m,n)=1$ <1> (quy tắc số hữu tỉ là vậy, ngoài ra $m,n$ dương)
Suy ra $a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}=\dfrac{m^2+n^2}{mn}$
Vì $a+\dfrac{1}{a}$ nguyên nên $m^2+n^2$ chia hết cho $mn$
Vì $m^2+n^2$ chia hết cho $mn$ và $m^2$ chia hết cho $m$ suy ra $n^2$ chia hết cho $m$ vô lý vì từ <1> đã có $gcd(m,n)=1$
Suy ra trường hợp này bị loại
Th2: $a$ là số nguyên dương. <2>
Từ đề bài: $a+\dfrac{1}{a}$ nguyên dương và do <2> nên suy ra $\dfrac{1}{a}$ nguyên dương suy ra $a=1$
Vậy $a=1$
Tương tự 3 số còn lại vậy nên ta được đáp số: $\boxed{(a,b,c,a+\dfrac{1}{a},b+\dfrac{1}{b},c+\dfrac{1}{c})=(1,1,1,2,2,2)}$
Ta chỉ xét trường hợp số $a$ thôi vì 2 số còn lại thì tương tự.
Như vậy ta chỉ tìm $a$ hữu tỉ dương thỏa mãn $a+\dfrac{1}{a}$ nguyên dương là được
Th1: $a$ là số hữu tỉ dương. Nên đặt $a=\dfrac{m}{n}$ Với $gcd(m,n)=1$ <1> (quy tắc số hữu tỉ là vậy, ngoài ra $m,n$ dương)
Suy ra $a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}=\dfrac{m^2+n^2}{mn}$
Vì $a+\dfrac{1}{a}$ nguyên nên $m^2+n^2$ chia hết cho $mn$
Vì $m^2+n^2$ chia hết cho $mn$ và $m^2$ chia hết cho $m$ suy ra $n^2$ chia hết cho $m$ vô lý vì từ <1> đã có $gcd(m,n)=1$
Suy ra trường hợp này bị loại
Th2: $a$ là số nguyên dương. <2>
Từ đề bài: $a+\dfrac{1}{a}$ nguyên dương và do <2> nên suy ra $\dfrac{1}{a}$ nguyên dương suy ra $a=1$
Vậy $a=1$
Tương tự 3 số còn lại vậy nên ta được đáp số: $\boxed{(a,b,c,a+\dfrac{1}{a},b+\dfrac{1}{b},c+\dfrac{1}{c})=(1,1,1,2,2,2)}$
- Zaraki, gacon812, chardhdmovies và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 02-06-2018 - 19:57
tìm 3 số hữu tỉ dương a b c sao cho $a+\dfrac{1}{a}$, $b+\dfrac{1}{b}$, $c+\dfrac{1}{c}$ là 3 số nguyên dương
Ta có BĐT $x+\frac{1}{x}\geq 2$ (Bạn đọc tự chứng minh). Áp dụng vào ta có:
$a+\frac{1}{a} \geq 2$ (1)
$b+\frac{1}{b} \geq 2$ (2)
$c+\frac{1}{c} \geq 2$ (3)
Từ (1), (2) , (3) ta suy ra các đẳng thức trên đạt giá trị nguyên dương (=2) khi và chỉ khi a = b = c =1
- thanhdatqv2003 yêu thích
Sĩ quan
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh