Chủ đề này có 3 trả lời

[Math Is Love]

Bài 1: Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn: $2a^{2}+a=3b^{2}+b$ thì $(a-b)$ và $2a+2b+1$ là những số chính phương.
Bài 2: Cho dãy: $3+4; 3^{2}+4;3^{3}+4;....;3^{n}+4.$
Chứng minh trong dãy trên không có số hạng nào là số chính phương
Bài 3: Với n thuộc N, chứng minh $M=n(n+1)(n+2).....(n+7) +7!$ không biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

Mod. Chú ý công thức toán có thể kẹp hẳn, ví dụ $a^2+b^2+c^2$.
Không cần phải

$a^2$+$b^2$+$c^24

Mà viết là

$a^2+b^2+c^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 28-12-2011 - 21:23

[perfectstrong]

Bài 2:
Xét số hạng tổng quát: $x=3^k+4(n\geq k \geq 1) $.
Nhận xét: $x$ là số chính phương thì x chia 8 có dư là 0;1;4.
Dễ thấy x luôn lẻ.
TH1: nếu $k=2m$
\[{3^k} + 4 = {9^m} + 4 \equiv 5\left( {\bmod 8} \right)\]
Do đó, x không chính phương.
TH2: nếu $k=2m+1$
\[{3^k} + 4 = {3.9^m} + 4 \equiv 7\left( {\bmod 8} \right)\]
Do đó, x không chính phương.
Kết luận: Dãy đã cho không có số hạng nào là số chính phương.

[nguyenta98]

Bài 1:
$2a^2+a=3b^2+b \leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)=b^2$
Giả sử $a-b$ chia hết cho 1 số nguyên tố bất kì $p$ <1>
Suy ra $b^2$ chia hết cho $p$ suy ra $b$ chia hết cho $p$ <2>
Từ <1> và <2> suy ra $a,b$ đều chia hết cho $p$
Như vậy $2a+2b+1$ không chia hết cho $p$
Như vậy $gcd(a-b;2a+2b+1)=1$ (do chúng không cùng chia hết cho số nguyên tố nào)
Theo tính chất tích 2 số nguyên tố cùng nhau bằng số chính phương, ta được cả $a-b,2a+2b+1$ đều là số chính phương $đpcm$

[chrome98]

3. Giải:

NX: tích 8 số nguyên liên tiếp luôn là bội của 128.(do trong đó có 1 số chỉ là bội của 8, 1 số chỉ là bội của 4, 2 số chỉ là bội của 2)
Theo đó, ta giả sử $\exists n\in \mathbb{Z^+}$ thoả mãn $n(n+1)(n+2)...(n+7)+7!=k^2$

Suy ra $128m+5040=k^2\Rightarrow 8m+315=v^2$ trong đó $k=4v$

Điều này mâu thuẫn do $8m+315\equiv 3\mod 8$ mà $v^2\equiv 0,1,4\mod 8$. Do đó điều giả sử sai, tức ta có đpcm.