Chủ đề này có 1115 trả lời

[Mai Duc Khai]

Bài 61:
Tìm GTNN của biểu thức :
\[T = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
Trong đó a,b,c là các số thực khác 0.
Đây là bài toán tổng quát:
Tìm GTNN của biểu thức

\[T = \frac{{{a_1}^2}}{{{a_1}^2 + {{\left( {S - {a_1}} \right)}^2}}} + \frac{{{b_1}^2}}{{{b_1}^2 + {{\left( {S - {a_2}} \right)}^2}}} + ... + \frac{{{c_1}^2}}{{{c_1}^2 + {{\left( {S - {a_n}} \right)}^2}}}\]
Trong đó: \[S = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\left\{ {{a_1},{a_2},...,{a_n} \ne 0;n \ge 3} \right\}\]

[Cao Xuân Huy]

Bài 62: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:
$$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \ge 1$$

Bài này đã có bên topic bất đẳng thức của anh Tường nhưng mình post lại và các bạn hãy cố gắng kiếm lời giải khác nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 13-01-2012 - 22:13

[Ispectorgadget]

Bài 61:
Tìm GTNN của biểu thức :
\[T = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
Trong đó a,b,c là các số thực khác 0.

$T=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2+2cb}+\frac{b^2}{b^2+c^2+a^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+a^2+b^2+c^2+2ab}$
$T\geq\frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+\frac{b^2}{b^2+2(a^2+c^2)}+\frac{c^2}{c^2+2(a^2+b^2)}$
Để đơn giản ta đặt $x=a^2;y=b^2;z=c^2$ $(x,y,z\geq 0)$
$T\geq \frac{x}{x+2(y+z)}+\frac{y}{y+2(x+z)}+\frac{z}{z+2(x+y)}=\frac{x^2}{x^2+2(yx+zx)}+\frac{y^2}{y^2+2(yx+yz)}+\frac{z^2}{z^2+2(xz+yz)}$
Áp dụng BĐT Schwarz ta có
$T\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+4(xy+xz+yz)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{2(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{5}$
Vậy T min = $\frac{3}{5}$ dấu "=" xảy ra khi x=y=z hay a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-01-2012 - 11:34

[Ispectorgadget]

Bài 63:
Cho x,y,z là 3 số thực khác 0
Tìm GTNN của biểu thức
$$D = \frac{{x^2 }}{{(x + y)(y + z)}} + \frac{{y^2 }}{{(y + z)(x + z)}} + \frac{{z^2 }}{{(x + y)(x + z)}}$$

Mới chế sáng nay nói chung ý tưởng xuất phát từ những bài toán quen thuộc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 14-01-2012 - 13:13

[Mai Duc Khai]

Bài 64:
Chứng minh rằng:\[\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{x_i}^2 + \frac{1}{{{x_i}^2}}} } \ge \left( {n + \frac{1}{n}} \right).\sqrt {{n^2} + \frac{1}{{{n^2}}}} .\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{x_i}}}{{1 + {x_i}^2}}} } \right)\]

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 63:
Cho x,y,z là 3 số thực khác 0
Tìm GTNN của biểu thức
$$D = \frac{{x^2 }}{{(x + y)(y + z)}} + \frac{{y^2 }}{{(y + z)(x + z)}} + \frac{{z^2 }}{{(x + y)(x + z)}}$$

Mới chế sáng nay nói chung ý tưởng xuất phát từ những bài toán quen thuộc

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
VT$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{4(x+y+z)^{2}}{3}}= \frac{3}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

[Zaraki]

Bài 65: Cho $a,\,b,\,c$ là các số không âm. Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{1+c^3}+\sqrt[3]{1+b^3}+\sqrt[3]{1+c^3}\geq \sqrt[3]{27+(a+b+c)^3}$$

[Ispectorgadget]

Bài 65: Cho $a,\,b,\,c$ là các số không âm. Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{1+c^3}+\sqrt[3]{1+b^3}+\sqrt[3]{1+c^3}\geq \sqrt[3]{27+(a+b+c)^3}$$

áp dụng BĐT Minkowsky ta có
$VT\geq \sqrt[3]{(1+1+1)^3+(a+b+c)^3}=\sqrt[3]{27+(a+b+c)^3}$ (đpcm)

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Góp vui 1 bài
Bài 66:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 14-01-2012 - 17:50

[tocxu]

topic này sôi nổi quá, các bác cho mình tham gia nhá. góp cho 1 bài
Bài 67: Cho a,b,c>0. chứng minh ${a^b} + {b^a} > 1$
______________________________________________

Bạn nhớ đánh số thứ tự rõ ràng nhé. Lần này mình sửa còn lần sau sẽ xóa bài đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 14-01-2012 - 20:18

[Ispectorgadget]

topic này sôi nổi quá, các bác cho mình tham gia nhá. góp cho 1 bài
Cho a,b,c>0. chứng minh ${a^b} + {b^a} > 1$

Mọi người đánh số bài vào đi nhé!!!
Nếu $a\geq 1$ hay $b\geq 1$ thì BĐT trên đúng
Nếu $a,b\in (0;1)$
Áp dụng BĐT Bernoulli
$(\frac{1}{a})^b=(1+\frac{1-a}{a})^b< 1+\frac{b(1-a)}{a}<\frac{a+b}{a}$
$\Rightarrow a^b>\frac{a}{a+b}$
CMTT ta có $b^a>\frac{b}{a+b}$
$\Rightarrow a^b+b^a>1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-01-2012 - 20:24

[Ispectorgadget]

Bài 68: Cho x,y là các số thực dương thoả mãn $x+y=2$. CMR $xy(x^2+y^2)\leq 2$
Đề TS lớp 10 trường PTNK - ĐHQG TPHCM
Bài 69: Cho x,y,z là các số dương thoả mãn $x^3+y^3+z^3=1$
CMR: $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\geq 2$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên toán chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM - 2004
Bài 70: Cho x,y,z >2 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
CMR: $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 1$
Chuyên Lam Sơn Thanh Hoá 2005-2006
Bài 71: Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn ab=cd=1
CMR: $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên trường PTNK ĐHQG TPHCM - 2007

Mới tìm được 1 số bài trong các đề tuyển sinh mọi người làm nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-01-2012 - 16:25

[Cao Xuân Huy]

Bài 68: Cho x,y là các số thực dương thoả mãn $x+y=2$. CMR $xy(x^2+y^2)\leq 2$
Đề TS lớp 10 trường PTNK - ĐHQG TPHCM

\[VT = \frac{1}{2}.2xy({x^2} + {y^2}) \le \frac{{{{({x^2} + {y^2} + 2xy)}^2}}}{8} = \frac{{{2^4}}}{8} = 2\]
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$.
________________________________________

Tối nay em xử tiếp

[Tham Lang]

Bài 71: Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn ab=cd=1
CMR: $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên trường PTNK ĐHQG TPHCM - 2007

$ab = cd = 1 => b = \dfrac{1}{a} , d = \dfrac{1}{c}$ thay vào, bđt cần cm $<=> (a + \dfrac{1}{a})(c + \dfrac{1}{c}) + 4\ge 2(a + \dfrac{1}{a} ) + 2(c + \dfrac{1}{c}) <=> (a + \dfrac{1}{a})(c + \dfrac{1}{c} - 2) -2(c + \dfrac{1}{c} - 2) \ge 0 $
$<=> (a + \dfrac{1}{a})(\dfrac{(c - 1)^2}{c} - 2\dfrac{(c - 1)^2}{c} \ge 0 <=> \dfrac{(a - 1)^2}{a}.\dfrac{(c - 1)^2}{c} \ge 0$ bđt đã được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 15-01-2012 - 16:00

[Tham Lang]

Bài 70: Cho x,y,z >2 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
CMR: $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 1$
Chuyên Lam Sơn Thanh Hoá 2005-2006

$$\dfrac{1}{x} = \dfrac{y - 2}{y} + \dfrac{z - 2}{z} \ge 2\sqrt{\dfrac{(y - 2)(z - 2)}{4yz}}$$ tương tự với các phần khác, nhân vế theo vế suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 21:02

[Cao Xuân Huy]

Bài 69: Cho x,y,z là các số dương thoả mãn $x^3+y^3+z^3=1$
CMR: $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\geq 2$

Ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{x^3}}}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }}} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{2{x^3}}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}}} = 2({x^3} + {y^3} + {z^3}) = 2\]
Vậy ta có ĐPCM.
Dấu "=" không xảy ra

[Ispectorgadget]

Bài 72: Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x+y+z+xy+xz+yz=6$
CMR: $x^2+y^2+z^2\geq 3$
ĐTTS lớp 10 ĐHKHTN - ĐHQGHN
Bài 73: Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Đề lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội 2003-2004

[Tham Lang]

CMR: $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\geq 2$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên toán chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM - 2004

ta có $$\dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \dfrac{x^3}{x\sqrt{1 - x^2}}$$ Lại có $x\sqrt{1 - x^2} \le \dfrac{x^2 + 1 - x^2}{2} = \dfrac{1}{2} => \dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \le 2x^3 => P \le 2(x^3 + y^3 + z^3) = 2$$ nhưng mình thắc mắc là tại sao , với cách này, dâu = chẳng xảy ra ? hay là đề bài có vấn đề ? Nhờ bạn xem lại,

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 15-01-2012 - 16:50

[Cao Xuân Huy]

Bài 72: Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x+y+z+xy+xz+yz=6$
CMR: $x^2+y^2+z^2\geq 3$
ĐTTS lớp 10 ĐHKHTN - ĐHQGHN
Bài 73: Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Đề lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội 2003-2004

Bài 72:
Ta có:
$\sum\limits_{cyc} {{x^2} + 1} \ge \sum\limits_{cyc} {2x} \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2(x + y + z) - 3$
$2({x^2} + {y^2} + {z^2}) \ge 2(xy + xz + yz)$
Cộng theo vế ta có ĐPCM
Bài 73:
$2.VT = \sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}}} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{4}{{2b}}} = \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} \Rightarrow $ ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 15-01-2012 - 17:02

[Tham Lang]

Bài 72: Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x+y+z+xy+xz+yz=6$
CMR: $x^2+y^2+z^2\geq 3$
ĐTTS lớp 10 ĐHKHTN - ĐHQGHN
Bài 73: Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR
$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Đề lớp 10 chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội 2003-2004

bài 72
$x^2 + 1 + y^2 + 1 + z^2 + 1 + 2(x^2 + y^2 + z^2) \ge 2(x + y + z) + 2(xy + yz + zx) = 12 => x^2 + y^2 + z^2 \ge 3$
73. sử dụng $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x + y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 21:04