Đến nội dung

Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#161
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài 79: CMR: $\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}<2\sqrt[3]{3}$
Đề thi vào lớp 10 chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2009-2010
Bài này thật ra còn câu a nhưng để tăng độ khó cho bài toán nên mình chỉ để câu b :P

Bài 79:
Đặt $\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}=a,\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}=b$ ta cần chứng minh $a+b<2\sqrt[3]{3}$ thật vậy:
Suy ra $a^3+b^3=6$ lại có bất đẳng thức $(\dfrac{a+b}{2})^3\le \dfrac{a^3+b^3}{2}=3 \rightarrow a+b\le 2\sqrt[3]{3}$
Dấu $"=" \leftrightarrow a=b$ vô lý suy ra không xảy ra dấu $"="$ hay có $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-01-2012 - 19:35


#162
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài 81: Cho a,b,c là các số thực dương thoả $ab+bc+ac=3$
CMR: $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

Bài 81:
Đặt cái $VT=\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+2}=A$
Ta cần chứng minh $a\le 1 \leftrightarrow 2A\le 2 \leftrightarrow 3-2A\geq 1 \leftrightarrow \dfrac{a^2}{a^2+2}+\dfrac{b^2}{b^2+2}+\dfrac{c^2}{c^2+2}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1$ (bdt $cauchy-schwarz$)
Dấu $"=" \leftrightarrow a=b=c=1$
Chú ý ở phần dấu bằng em làm hơi tắt:
Đầy đủ phải là $\dfrac{a}{a^2+2}=\dfrac{b}{b^2+2} \leftrightarrow 2a^2=2b^2 \leftrightarrow a=b$ và tương tự suy ra $a=b=c=1$ :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-01-2012 - 20:20


#163
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 71: Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn ab=cd=1
CMR: $(a+b)(c+d)+4\geq 2(a+b+c+d)$
Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên trường PTNK ĐHQG TPHCM - 2007


Bài này mới tìm được cách giải khác
Để đơn giản ta đặt $x=a+b$; $y=c+d$
BĐT cần chứng minh tương đương$xy+4\geq 2(x+y)$
$\Leftrightarrow xy-4-2x-2y\geq 0\Leftrightarrow x(y-2)+2(2-y)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-2)(y-2)\geq 0$
Từ giả thiết ta có
$x=a+b\geq 2;y=c+d\geq 2$ (AM-GM)
Do đó $(x-2)(y-2)\geq 0$ (đúng)
Từ đây ta có đpcm

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#164
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 81: Cho a,b,c là các số thực dương thoả $ab+bc+ac=3$
CMR: $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$(a^2+1+1)(1+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{a^2+2}\leq \frac{1+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$
CMTT ta có:
$\Rightarrow \frac{1}{b^2+2}\leq \frac{1+a^2+c^2}{(a+b+c)^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{c^2+2}\leq \frac{1+a^2+b^2}{(a+b+c)^2}$
Cộng lại ta có $VT\leq \frac{3+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#165
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 82: Cho các số thực x,y thoả mãn $x+y=2$. Tìm GTNN của biểu thức
$$A=x^3+y^3+2xy$$
Đề thi HSG lớp 9 TP Hà Nội 2006-2007
Bài 83: Cho x,y là các số không âm thoả $x+y\leq 6$. CMR:
$-64\leq x^2y(4-x-y)\leq 4$
Bài này là đề thi chuyên Lê Hồng Phong không nhớ rõ năm mà cũng khá lâu rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-01-2012 - 20:26

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#166
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài 82: Cho các số thực x,y thoả mãn $x+y=2$. Tìm GTNN của biểu thức
$$A=x^3+y^3+2xy$$
Đề thi HSG lớp 9 TP Hà Nội 2006-2007

Bài 82:
$x^3+y^3+3xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=8-xy(3(x+y)-2)=8-4xy\geq 8-(x+y)^2=4$
Vậy đáp số là $x^2+y^2+2xy$ đạt GTNN bằng $4$ $\leftrightarrow x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-01-2012 - 20:37


#167
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Bài 82: Cho các số thực x,y thoả mãn $x+y=2$. Tìm GTNN của biểu thức
$$A=x^3+y^3+2xy$$
Đề thi HSG lớp 9 TP Hà Nội 2006-2007
Bài 83: Cho x,y là các số không âm thoả $x+y\leq 6$. CMR:
$-64\leq x^2y(4-x-y)\leq 4$
Bài này là đề thi chuyên Lê Hồng Phong không nhớ rõ năm mà cũng khá lâu rồi.

bài 82 đã được giải nên mình không trình bày lại
bài 83. $$x^2y(4 - x- y) \ge - 2x^2y .$$Mặt khác, $\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}.y \le \dfrac{(x + y)^3}{27} \le 8 => -2x^2y \ge -64$
$$x^2y(4 - x - y) \le 4 <=> x^2y^2 + (x^3 - 4x^2).y + 4 \ge 0 (1)$$ Ta có $$\bigtriangleup = (x^3 - 4x^2)^2 - 16.x^2 = (x^3 - 8x^2).x^3 = x^5.(x - 8)$$ Vì $x \le x + y \le 6 => x <8 => \bigtriangleup \le 0$ nên (1) đúng suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 16-01-2012 - 21:15

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#168
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Mình cũng xin góp một vài bài
Bài 84. Cho x, y, z không âm thoả mãn : xy + yz + zx + xyz = 4.Chứng minh rằng
$$x + y + z \ge xy + yz + zx$$
Bài 85. Cho a, b, x, y thoả mãn $0 < b \le a \le 4, a + b \le 7, 2\le x \le 3 \le y$ Tìm GTNN của
$$S = \dfrac{2x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{2}{y}}{a^2 + b^2}$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#169
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Bài 84:
http://diendantoanho...75
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#170
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết

Bài 62: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:
$$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \ge 1$$




Chứng minh $\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{(b + c)}^3}}}} \geqslant \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

$ \Leftrightarrow 2{a^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^2} \geqslant a{\left( {b + c} \right)^3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \geqslant {\left( {b + c} \right)^2} \Leftrightarrow {\text{8}}{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^3} \geqslant {\left( {b + c} \right)^6}$

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

${a^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^2} \geqslant 2\sqrt {{a^2}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}^3}} \geqslant a{\left( {b + c} \right)^3}$

Vậy, phép chứng minh hoàn tất.


Ta còn cách khác là.

Ta có bổ đề: $\sqrt {1 + {x^3}} = \sqrt {(1 + x)(1 - x + {x^2})} \le \frac{{1 + x + 1 - x + {x^2}}}{2} = 1 + \frac{{{x^2}}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=2$.

Ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{(b + c)}^3}}}} } = \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{{{{(b + c)}^3}}}{{{a^3}}}}}} } \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{1 + \frac{{{{(b + c)}^2}}}{{2{a^2}}}}}} \]

\[ \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{1 + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} } = 1\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 17-01-2012 - 07:20

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#171
thedragonknight

thedragonknight

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
Mình xin góp 2 bài:tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 86: $\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-2x+5}$
Bài 87: $\sqrt{-x^{2}+4x+12} -\sqrt{-x^{2}+2x+3}$


________
MOD: Đánh số thứ tự vào nhé. Lần sau sẽ del bài không báo trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-01-2012 - 10:16


#172
tudragon

tudragon

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Mình xin góp 2 bài:tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 86: $A=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-2x+5}$
Bài 87: $B=\sqrt{-x^{2}+4x+12} -\sqrt{-x^{2}+2x+3}$


Bài 86:
$A=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-2x+5}=\sqrt{(-x)^2+1^2}+\sqrt{(x-1)^2+2^2}$
$\geq ^{Mincopsky} \sqrt{(-x+x-1)^2+(1+2)^2}=\sqrt{10}$
Vậy $minA=\sqrt{10} \Leftrightarrow \frac{-x}{1}=\frac{x-1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{3} $
Bài 87: Không chắc lắm, nêu kết quả thử:
$minB=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tudragon: 17-01-2012 - 10:43


#173
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 87: $\sqrt{-x^{2}+4x+12} -\sqrt{-x^{2}+2x+3}$

TXĐ: x nằm trong [-1;3]
Đặt VT= y
Ta có: $y^2=[\sqrt{(1+x)(6-x)}-\sqrt{(2+x)(3-x)}]^2+3\geq 3$
Do đó: $y\geq \sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra khi x=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-01-2012 - 10:59

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#174
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 88: Cho các số thực dương a,b,c CMR
$\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}+\frac{9(a+b+c)^2}{a^2+c^2+b^2}\geq 33$
Không để ý :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-01-2012 - 11:13

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#175
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
Bài 89: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$\dfrac{{bc}}{{(a + b)(a + c)}} + \dfrac{{ac}}{{(b + a)(b + c)}} + \dfrac{{ab}}{{(c + a)(c + b)}} \ge \dfrac{3}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-01-2012 - 11:14

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#176
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài 89: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$\dfrac{{bc}}{{(a + b)(a + c)}} + \dfrac{{ac}}{{(b + a)(b + c)}} + \dfrac{{ab}}{{(c + a)(c + b)}} \ge \dfrac{3}{4}$$

Bài 89:
Bất đẳng thức tương đương: $4(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)\geq 3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc)$
$\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\geq 6abc$ <1>
Lại thấy $a^2b+b^2c+c^2a\geq 3abc$
$ab^2+bc^2+ca^2\geq 3abc$
Cộng 2 vế của bdt thu được <1> Dấu $"=" \leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 17-01-2012 - 13:06


#177
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Bài 88:
Đặt $r=abc;q=ab+bc+ca$
BĐT đã cho là bđt thuần nhất nên không mất tính tổng quát, giả sử $a+b+c=3$. Ta có:
\[\begin{array}{l}
a + b + c = 3 \Rightarrow 0 < r \le {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} = 1 \\
{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right) = 3\left( {9 - 3q} \right) = 27 - 9q \\
\Rightarrow 2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) = 54 - 18q + 6r \\
bdt \Leftrightarrow \frac{{54 - 18q + 6r}}{r} + \frac{{81}}{{9 - 2q}} \ge 33 \Leftrightarrow \frac{{18 - 6q + 2r}}{r} + \frac{{27}}{{9 - 2q}} \ge 11 \Leftrightarrow \frac{{18 - 6q}}{r} + \frac{{27}}{{9 - 2q}} \ge 9 \\
VT \ge 18 - 6q + \frac{{27}}{{9 - 2q}} = 3\left( {9 - 2q} \right) + \frac{{27}}{{9 - 2q}} - 9 \ge 2\sqrt {3\left( {9 - 2q} \right).\frac{{27}}{{9 - 2q}}} - 9 = 9 = VP \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}\]
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#178
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 88: Cho các số thực dương a,b,c CMR
$\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}+\frac{9(a+b+c)^2}{a^2+c^2+b^2}\geq 33$

Bài này chỉ cần biến đổi tương dương là ra thôi mà Hân :P
BĐT cần chứng minh tương đương $[\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}-6]+[\frac{9(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}-27]\geq 0$
Tới đây mọi người hoàn thiện nốt. :)

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#179
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Một bài tương tự với bài 88:
Bài 90: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{abc}} + {\left( {\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right)^2} \ge 28\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 17-01-2012 - 14:14

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#180
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
E góp 1 bài:
Bài 91: Cho các số thực $x,y,z\neq 0;1$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng$(\frac{x}{x-1})^{2}+(\frac{y}{y-1})^{2}+(\frac{z}{z-1})^{2}\geq 1$


p/s: Mod thông cảm em ko nhìn bài 90 nên ko đánh số.SORRY

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 17-01-2012 - 16:15

@@@@@@@@@@@@




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh