Bài này là đề IMO năm nào đấy. Mình nhớ được 1 lời giải thế này.Bài 91: Cho các số thực $x,y,z\neq 0;1$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng$(\frac{x}{x-1})^{2}+(\frac{y}{y-1})^{2}+(\frac{z}{z-1})^{2}\geq 1$
Lời giải 1
Đặt \[a = \frac{x}{{x - 1}};b = \frac{y}{{y - 1}};c = \frac{z}{{z - 1}}\left( {a;b;c \ne 1} \right)\]
\[a = \frac{x}{{x - 1}} \Leftrightarrow ax - a = x \Leftrightarrow x\left( {a - 1} \right) = a \Leftrightarrow x = \frac{a}{{a - 1}} \Rightarrow y = \frac{b}{{b - 1}};z = \frac{c}{{c - 1}}\]
Đặt \[p = a + b + c;q = ab + bc + ca\]
\[\begin{array}{l}
xyz = 1 \Leftrightarrow \frac{a}{{a - 1}}.\frac{b}{{b - 1}}.\frac{c}{{c - 1}} = 1 \Leftrightarrow abc = \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) \Leftrightarrow p - q = 1 \\
bdt:{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 1 \Leftrightarrow {p^2} - 2q \ge 1 \Leftrightarrow {p^2} - 2\left( {p - 1} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\left( {p - 1} \right)^2} \ge 0:True \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}\]