Chủ đề này có 1115 trả lời

[perfectstrong]

Bài 244: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ (a khác 0). Giả sử tồn tại 2 số m,n (m khác n) sao cho $P(m)=P(n)$. CMR
$mn\geq \frac{4ac-b^2}{4a^2}$
Đề tuyển sinh chuyên Thái Binh 2010-2011

Lời giải:
\[\begin{array}{l}
P\left( m \right) = P\left( n \right) \Leftrightarrow a\left( {{m^3} - {n^3}} \right) + b\left( {{m^2} - {n^2}} \right) + c\left( {m - n} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow a\left( {{m^2} + {n^2} + mn} \right) + b\left( {m + n} \right) + c = 0 \\
\end{array}\]
Đặt $s=m+n;p=mn$, ta có:
\[gt \Leftrightarrow a\left( {{s^2} - p} \right) + bs + c = 0 \Leftrightarrow a{s^2} + bs + c = ap \Leftrightarrow p = \frac{{a{s^2} + bs + c}}{a}\]
Ta cần chứng minh
\[p \ge \frac{{4ac - {b^2}}}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{{a{s^2} + bs + c}}{a} \ge \frac{{4ac - {b^2}}}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow 4{a^2}{s^2} + 4abs + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2as + b} \right)^2} \ge 0:True\]

[minhtuyb]

Bài 245: Cho các đa thức
$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$, $Q(x)=x^2+x+2005$
Biết phương trình $P(x)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt còn phương trình P(Q(x))=0 vô nghiệm. CMR
$P(2005)>\frac{1}{64}$
Chuyên Thái Bình 2005-2006

-Gọi $x_1;x_2;x_3$ là 3 nghiệm thực phân biệt của pt $P(x)=0$. Theo định lý Bezout và do hệ số của $x^3$ bằng 1 $\Rightarrow P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
-Suy ra:$P[Q(x)]=(Q(x)-x_1)(Q(x)-x_2)(Q(x)-x_3)$. do pt $P[Q(x)]=0$ vô nghiệm nên $Q(x)-x_1\neq 0;Q(x)-x_2\neq 0;Q(x)-x_3\neq 0$
-Với $Q(x)-x_1\neq 0\Rightarrow$ phương trình $x^2+x+2005-x_1=0$ vô nghiệm, suy ra:
$\Delta =1-4(2005-x_1)<0\Leftrightarrow 2005-x_1>\frac{1}{4}$
-Tương tự: $2005-x_2>\frac{1}{4};2005-x_3>\frac{1}{4}$
Vậy: $P(2005)=(2005-x_1)(2005-x_2)(2005-x_3)>(\frac{1}{4})=\frac{1}{64}<Q.E.D>$

[Ispectorgadget]

Baì 246: Cho các số nguyên dương m,n. Tìm GTNN của biểu thức

$P=|36^m-5^n|$

[le_hoang1995]

Hai bài vui.

Bài 232 cho $a,b,c\in [0;2]$ và $a+b+c=3$

Tìm max $P=a^3+b^3+c^3$

Bài này làm như sau:

$P=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3\leq (3-c)^3+c^3=9(c^2-3c+3)$

Đến đây thì dễ rồi.

Dấu bằng xảy ra khi có bộ $(0,1,2)$

[Tham Lang]

Baì 246: Cho các số nguyên dương m,n. Tìm GTNN của biểu thức

$P=|36^m-5^n|$

Không có gì làm, mình chém bừa
ta có $36^m$ tận cùng là 16, 36, 56, 76, 96. Còn $5^n$ tận cùng là 25 hoặc 5.
xét $ n = 1 \Leftrightarrow P \ge 31$
xét $ n > 1$ khi xét chữ số tận cùng, dễ dàng gán $36^m$ tận cùng là 36 và $5^n$ có tận cùng là 25 với nhau. Cộng với nhận xét không tồn tại $A36$ và $A25$ suy ra $m = 1, n = 2$.
GTNN của P là 11.
có thể, mình giải có chỗ chưa hợp lí lắm. Mong được chỉnh sửa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 04-02-2012 - 23:04

[Ispectorgadget]

Vì $36^m$ tận cùng là 6 và $5^n$ có tận cùng là 5 nên nếu $36^m>5^n$ thì P tận cùng là 1, còn ngược lại nếu $36^m<5^n$ thì P tận cùng là 9
Xét TH P=1 thì ; $36^m-5^n=1$ tương đương $36^m-1=5^n$ (1)
DO VT $36^m-1$ chia hết cho 35 hay chia hết cho 7, còn VP không chia hết cho 7, còn VP không chia hết cho 7. Nên (1) không xảy ra vậy P>1
Xét TH P=9 thì $5^n-36^m=9$ tương đương $5^n=36^m+9$ (2)
Đẳng thức này cũng không xảy ra vì VP chia hết cho 9 còn VT không chia hết cho 9. Vậy P>9
Xét TH $P=11$ thì $36^m-5^n=11$ (3)
Có thế nhận thấy 93) có nghiệm m=1;n=2 nên min P =11

[dark templar]

Góp vui 1 bài thôi
Bài 247(Dễ): Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$a+ab+2abc \le \frac{9}{2}$$

[Ispectorgadget]

Góp vui 1 bài thôi
Bài 247(Dễ): Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$a+ab+2abc \le \frac{9}{2}$$

$VT=a+2ab(c+\frac{1}{2})\leq 2a(\frac{b+c+\frac{1}{2}}{2})^2=2a(\frac{7-2a}{4})^2$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$a+2a(\frac{7-2a}{4})^2\leq 9$
Tới đây chắc ai cũng làm được

[Ispectorgadget]

Bài 248: Chứng minh rằng
$P=\frac{{3 - \underbrace {\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...} } } } }_{2007}}}{{6 - \underbrace {\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...} } } } }_{2006}}} < \frac{1}{5}$
Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2006-2007

[Tham Lang]

Bài 248: Chứng minh rằng
$P=\frac{{3 - \underbrace {\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...} } } } }_{2007}}}{{6 - \underbrace {\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...} } } } }_{2006}}} < \frac{1}{5}$
Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2006-2007

Đặt $ \underbrace {\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...} } } } }_{2007} = x $
bất đẳng thức $\Leftrightarrow \dfrac{3 - x}{9 - x^2} < \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) < 0 \Leftrightarrow 2 < x<3$
ta có $\underbrace {\sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...} } } } }_{2006} > 1 \Leftrightarrow x > 2 $
xét $ y = \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + \sqrt {3 + ...} } } } \Leftrightarrow y^2 - y - 3 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} < 3 \Leftrightarrow x < y < 3$
Vậy bđt đã được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 05-02-2012 - 22:07

[Tham Lang]

249. Cho $x, y > 0$ với $x + y = 4$. Tìm GTNN của :
$$(1 + x + \dfrac{1}{x})^3 + (1 + y + \dfrac{1}{y})^3$$

[Ispectorgadget]

249. Cho $x, y > 0$ với $x + y = 4$. Tìm GTNN của :
$$(1 + x + \dfrac{1}{x})^3 + (1 + y + \dfrac{1}{y})^3$$

Sử dụng bổ đề quen thuộc sau
$x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}$
Mọi người làm tiếp khúc sau nhé

[Tham Lang]

250.
Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c, d$ ta có :
$$\dfrac{1}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}} \le \dfrac{1}{\dfrac{1}{a + c} + \dfrac{1}{b + d}}$$
$-------------VMO 1962--------------$

Một bài nữa không biết có trùng hay không, nếu trùng thì mod xoá giùm
251. Với $a, b, c > 0$
Chứng minh $$\dfrac{x^2y}{z} + \dfrac{y^2z}{x} + \dfrac{z^2x}{y} \ge x^2 + y^2 + z^2 $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-02-2012 - 14:18

[Tham Lang]

Bài 250 mình làm theo cách biến đổi tương đương
bài 251 cũng đã xuất hiện trên diễn đàn, nhưng bài này có nhiều cách làm
Mình xin post thêm một số bài
252.
Cho $a, b, c \ge 0 ; a + b + c = 3 $
Chứng minh rằng :$a\sqrt{b^3 + 1} + b\sqrt{c^3 + 1} + c\sqrt{a^3 + 1} \le 5$
253. Cho $a, b, c \ge 0 , a + b + c = 1$ . Tìm GTNN, GTLN của :
$$P = \sqrt{a^2 + a + 1} + \sqrt{b^2 + b + 1} + \sqrt{c^2 + c + 1}$$

[Ispectorgadget]

Bài 253
GTNN
$P=\sqrt{(a+\frac{1}{2}^2)+\frac{3}{4}}+\sqrt{(b+\frac{1}{2}^2)+\frac{3}{4}}+\sqrt{(c+\frac{1}{2}^2)+\frac{3}{4}}$
Áp dụng BĐT Minkowsky
$P\geq \sqrt{(a+b+c+\frac{3}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}.3)^2}=\sqrt{13}=\sqrt{13}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Tham Lang]

Một bài khác trong một đề thi thử đại học
Bài 254. Cho $x, y, z \in (0; 1] , x + y \ge z + 1$ . Tìm GTNN của :
$$P = \dfrac{x}{y + z} + \dfrac{y}{x + z} + \dfrac{z}{xy + z^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 08-02-2012 - 20:38

[Tham Lang]

Một bài khác trong một đề thi thử đại học
Bài 254. Cho $x, y, z \in (0; 1] , x + y \ge z + 1$ . Tìm GTNN của :
$$P = \dfrac{x}{y + z} + \dfrac{y}{x + z} + \dfrac{z}{xy + z^2}$$

Topic mấy tuần nay chán thật
ta có $x + y \ge z + 1 \ge x + z \Leftrightarrow y \ge z \ge z^2$
lại có $xy \le x $ nên ta có $\dfrac{z}{xy + z^2} \ge \dfrac{z}{x + y}$
Ta có $P \ge \dfrac{x}{y + z} + \dfrac{y}{z + x} + \dfrac{z}{x + y} \ge \dfrac{3}{2}$
dấu = xảy ra khi $x = y = z = 1$

[yeutoan11]

Topic dạo này không còn như trước rồi , em xin post 1 số bài để duy trì topic :
255 :Cho 5 số a,b,c,p,q > 0
CM : $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geq \frac{3}{p+q}$
256 cho $\left | x \right | < 1;\left | y \right | < 1$
CMR : $\left | \frac{x-y}{1-xy} \right |< 1$
256 cho 3 số m,m,p thỏa mãn $m(m-1)+n(n-1)+p(p-1) \leq 1\frac{1}{3}$
CMR $m+n+p \leq 4$
257 $n \epsilon \mathbb{Z} ;n\geq 1$
CMR : $(1+\frac{1}{n})^n < (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

258 Cho các số dương x,y,z
CMR: $\frac{1}{x+3y} + \frac{1}{y+3z} + \frac{1}{z+3x} \geq \frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{y+2z+x}+\frac{1}{z+2x+y}$
259 Cho các số dương a,b,c thỏa $ab+bc+ca=abc$
CMR : $\frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c} < \frac{3}{16}$
260)1 tam giác có diện tích S và độ dài 3 cạnh là a,b,c . 3 đường cao là $h_{a},h_{b},h_{c}$
CMR : $\sum \frac{1}{h_{a}+h_{b}}\leq \frac{a+b+c}{4S}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 09-02-2012 - 11:43

[Cao Xuân Huy]

Topic dạo này không còn như trước rồi , em xin post 1 số bài để duy trì topic :
255 :Cho 5 số a,b,c,p,q > 0
CM : $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geq \frac{3}{p+q}$
256 cho $\left | x \right | < 1;\left | y \right | < 1$
CMR : $\left | \frac{x-y}{1-xy} \right |< 1$
256 cho 3 số m,m,p thỏa mãn $m(m-1)+n(n-1)+p(p-1) \leq 1\frac{1}{3}$
CMR $m+n+p \leq 4$
257 $n \epsilon \mathbb{Z} ;n\geq 1$
CMR : $(1+\frac{1}{n})^n < (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

258 Cho các số dương x,y,z
CMR: $\frac{1}{x+3y} + \frac{1}{y+3z} + \frac{1}{z+3x} \geq \frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{y+2z+x}+\frac{1}{z+2x+y}$
259 Cho các số dương a,b,c thỏa $ab+bc+ca=abc$
CMR : $\frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c} > \frac{3}{16}$
260)1 tam giác có diện tích S và độ dài 3 cạnh là a,b,c . 3 đường cao là $h_{a},h_{b},h_{c}$
CMR : $\sum \frac{1}{h_{a}+h_{b}}\leq \frac{a+b+c}{4S}$

Bài 255:
\[\sum {\frac{a}{{pb + qc}}} = \sum {\frac{{{a^2}}}{{pab + qac}}} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{(p + q)(ab + ac + bc)}} \ge \frac{{3(ab + ac + bc)}}{{(p + q)(ab + ac + bc)}} = \frac{3}{{p + q}}\]
Bài 258:
\[\sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{1}{{x + 3y}} + \frac{1}{{y + 2z + x}}} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{4}{{2x + 4y + 2z}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{2}{{x + 2y + z}}} \Rightarrow Q.E.D\]
Bài 260:
\[ \text{BĐT} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{\frac{2S}{a} + \frac{2S}{b}}}} \le \frac{{a + b + c}}{{4S}} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\]
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}} \le \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{\frac{4}{{a + b}}}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{a + b}}{4}} = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 09-02-2012 - 10:03

[Tham Lang]

Topic dạo này không còn như trước rồi , em xin post 1 số bài để duy trì topic :
255 :Cho 5 số a,b,c,p,q > 0
CM : $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geq \frac{3}{p+q}$
256 cho $\left | x \right | < 1;\left | y \right | < 1$
CMR : $\left | \frac{x-y}{1-xy} \right |< 1$
256 cho 3 số m,m,p thỏa mãn $m(m-1)+n(n-1)+p(p-1) \leq 1\frac{1}{3}$
CMR $m+n+p \leq 4$
257 $n \epsilon \mathbb{Z} ;n\geq 1$
CMR : $(1+\frac{1}{n})^n < (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

258 Cho các số dương x,y,z
CMR: $\frac{1}{x+3y} + \frac{1}{y+3z} + \frac{1}{z+3x} \geq \frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{y+2z+x}+\frac{1}{z+2x+y}$
259 Cho các số dương a,b,c thỏa $ab+bc+ca=abc$
CMR : $\frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c} > \frac{3}{16}$
260)1 tam giác có diện tích S và độ dài 3 cạnh là a,b,c . 3 đường cao là $h_{a},h_{b},h_{c}$
CMR : $\sum \frac{1}{h_{a}+h_{b}}\leq \frac{a+b+c}{4S}$

bài $256_1$ $BĐT \Leftrightarrow x^2 - 2xy + y^2 < x^2y^2 - 2xy + 1 \Leftrightarrow (x^2 - 1)(y^2 - 1) > 0$ bđt đúng
bài $256_2$ $\dfrac{4}{3} = (m^2 + n^2 + p^2) - (m + n + p) \ge \dfrac{(m + n + p)^2}{3} - (m + n + p) \Leftrightarrow -1 \le m + n + p \le 4$
257. $BĐT \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{n} < (1 + \dfrac{1}{n + 1})^{\dfrac{n + 1}{n}}$ đúng vì $(1 + \dfrac{1}{n + 1})^{\dfrac{n + 1}{n}} > 1 + \dfrac{1}{n}$
259.từ giả thiết, ta có $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$
ta có $$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{36}{a + 2b + 3c}$$
tương tự, ta có
$$\dfrac{1}{a + 2b + 3c} + \dfrac{1}{2a + 3b + c} + \dfrac{1}{3a + b + 2c} \le \dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = \dfrac{1}{6} < \dfrac{3}{16}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 09-02-2012 - 11:57