Không mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \geq z$251. Với $x, y, z > 0$
Chứng minh $$\dfrac{x^2y}{z} + \dfrac{y^2z}{x} + \dfrac{z^2x}{y} \ge x^2 + y^2 + z^2 $$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$$(\frac{{x^2 y}}{z} + \frac{{y^2 z}}{x} + \frac{{z^2 x}}{y})(\frac{{x^2 z}}{y} + \frac{{y^2 x}}{z} + \frac{{z^2 y}}{x}) \ge (x^2 + y^2 + z^2 )^2$$
Lại có: $x \ge y \ge z$
\[
\Rightarrow \frac{{x^2 y}}{z} + \frac{{y^2 z}}{x} + \frac{{z^2 x}}{y} - \frac{{x^2 z}}{y} - \frac{{y^2 x}}{z} - \frac{{z^2 y}}{x} = \frac{{(x - y)(x - z)(y - z)(xy + xz + yz)}}{{xyz}} \ge 0
\]
Từ đó suy ra đpcm đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow ab(a + b) + ab(a + b) + ab(a + b) - 4(a + b + c) + 6 \ge 0$Bài 237: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:
\[(a + b)(b + c)(c + a) \ge 4(a + b + c - 1)\]
Đặt VT BĐT cần cm là $f(a;b;c) \ge 0$. Không mất tính tổng quát giả sử $a \ge b \ge c \Rightarrow a \ge 1$ khi đó :
\[
f(a;b;c) - f(a;\sqrt {ab} ;\sqrt {ab} ) = (a^2 + bc)(b + c - 2\sqrt {bc} ) + a(b^2 + c^2 - 2bc) + 4(b + c - 2\sqrt {bc} )
\]
$$ = (\sqrt b - \sqrt c )^2 [(a + b)(a + c) + 2\sqrt a - 4) \ge 2\sqrt a (\sqrt b - \sqrt c )^2 \ge 0$$
Vậy $$f(a;b;c) \ge f(a;\sqrt {ab} ;\sqrt {ab} )$$
Cuối cùng ta chỉ cần cm bài toán trong trường hợp b=c lúc đó $b^2 = \frac{1}{a}$ lúc đó BĐT cần chứng minh trở thành $b(a + b)^2 \ge 2(a + 2b - 1)$
Thay $b^2 = \frac{1}{a}$ vào BĐT ta được \[
(b^3 + 1)^2 \ge 2(b + 2b^4 - b^3 ) \Leftrightarrow (b - 1)^2 [(b^2 - 1)^2 + 2b^3 + b^2 ] \ge 0
\]
Phép chứng minh hoàn tất dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài này hơi bị khó243. Cho các số thực thoả mãn $(x + y)c - (a + b)z = \sqrt{6}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$F = a^2 + b^2 + c^2 + x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz$$
NGHỆ AN.
Ta có:
$2VT = a^2 + b^2 + c^2 + x^2 + y^2 + z^2 + (x + a)^2 + (b + y)^2 + (c + z)^2 \ge $
$\frac{{(a + b)^2 }}{2} + \frac{{(x + y)^2 }}{2} + c^2 + z^2 + \frac{{(x + y + a + b)^2 }}{2} + (c + z)^2 $
Đặt: $a + b = d\sqrt 2 ;x + y = t\sqrt 2 $ khi đó: $(x + y)c - (a + b)z = \sqrt 3 \Leftrightarrow tc - - dz = \sqrt 3 $
Lúc này $2F \ge d^2 + t^2 + c^2 + z^2 + (d + t)^2 + (c + z)^2 \Leftrightarrow F \ge (t + \frac{d}{2})^2 + (z + \frac{c}{2})^2 + 3.\frac{{c^2 + d^2 }}{4}$
Xét hệ tọa độ Oxy điểm $M(\frac{{ - c}}{2};\frac{{ - d}}{2})$. Đường thẳng $\Delta :dz - tc + \sqrt 3 = 0$
Với mọi điểm \[
A(z;t) \in \Delta \Rightarrow MA \ge d_{(M/\Delta )} \Leftrightarrow (z + \frac{c}{2})^2 + (t + \frac{d}{2})^2 \ge \frac{3}{{c^2 + d^2 }}
\]
Do đó: $F \ge (t + \frac{d}{2})^2 + (z + \frac{c}{2})^2 + 3.\frac{{c^2 + d^2 }}{4} \ge \frac{3}{{c^2 + d^2 }} + \frac{{3(c^2 + d^2 )}}{4} \ge 3$
Do đó $F\ge 3$
Dấu “=” xảy ra chẳng hạn \[
a = b = 1;c = 0;x = y = \frac{{ - 1}}{2};z = \frac{{\sqrt 6 }}{2}
\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-02-2012 - 12:52