Chủ đề này có 3 trả lời

[huyentrang97]

1/Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$2^{x}+5^{y}=z^{2}$
2/Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:
$(x+1999)(x+1975)=3^{y}-81$
3/ Giải phương trình nghiệm nguyên :
$19^{x}+5^{y}+2010z=2015^{2011}+2013$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 05-01-2012 - 22:22

[Devil25]

Bài 1:-Xét x lẻ,y lẻ. Thấy rằng tận cùng của $2^x$ sẽ là 2,8. Tận cùng của $5^y$ là 5. Vế trái tận cùng là 7 hoặc 3, ko là số chính phương.
-Xét x chẵn,y lẻ. Đặt x=2k, ta có (z-$2^k$)(z+$2^k$)=$5^y$.
Do đó z+$2^k$=$5^m$ và z-$2^k$=$5^n$(m>n,m+n=y,m=n+t với t>0)
Ta được $2^k$=($5^m-5^n$)/2 vậy $ 2^ (k+1)$=$5^m-5^n$=$5^n$($5^t$-1).
Do đó có $5^n$=1 và $5^t$-1=$2^ (k+1)$ <1>
Đến đây xét thấy khi t chẵn thì vt chia hết cho 3 mà vp thì ko nên loại. t lẻ thì $5^t$-1=4($5^(t-1)$+$5^(t-2)$+..+5+1).
Do số số hạng bên trong thừa số là lẻ nên $5^t$-1 chia hết 4 nhưng ko chia hết 8. Vì thế k ko lớn hơn 1. k=0 thay vào vô lý, k=1 thay vào thì t=1.
Từ đó có x=2,y=1<2>
-Xét x lẻ, y chẵn. Đặt y=2k cũng làm như kiểu trên, đặt ẩn m>n thì có $5^k$=$2^(m-1)$+$2^(n-1)$.
Dễ thấy n lớn hơn 1 thì vp chẵn mà $5^k$ lẻ nên loại. Khi n=1 thì $5^k$-1=$2^(m-1)$.
Đến đoạn này lại đưa về đoạn <1> xét tiếp thì có k=1,m=3,n=1
Từ đó có x=4,y=2. Tuy nhiên x chẵn trái với đk nên loại<3>
-Xét x chẵn,y chẵn thì $z^2$ chia 3 dư 2 loại.<4>
Từ <2>,<3>,<4> thì ta được bộ nghiệm duy nhất có phương trình đã cho là (x,y)=(2,1)

Bài 2: Đặt x+1987=m, ta có (m-12)(m+12)=$3^y$-81 do đó $m^2$=63+$3^y$
Nếu y lẻ thì ta có $3^y$ chia 4 dư 3 nên $m^2$ chia 4 dư 2, loại
Nếu y chẵn đặt y=2k ta có (t-$3^k)(t+3^k)=63. Đến đây giải phương trình ước số là xong.

Bài 3: Theo em bài này ko có nghiệm. Xét thấy $19^x$ có 2 tận cùng là 1,9 còn $5^y$ có 2 tận cùng là 1,5, 2010z tận cùng luôn là 0.
Các tận cùng có thể ở vế trái là 6,4,0,2
Vế phải thì có tận cùng là 8. Do đó phương trình vô nghiệm.
P/s: Gõ latex chán quá, em sửa mãi ko được, mong các mod thông cảm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Devil25: 09-01-2012 - 20:46

[Zaraki]

Bài 2 lời giải của bạn sai.

Lời giải. Đặt $t=x+1987, \ t \in \mathbb{Z}$ phương trình đã cho trở thành
$$(t+12)(t-12)=3^y-81 \text{ } (1)$$
$$ \iff t^2=3^y+63 \text{ } (2)$$
Xét các trường hợp sau:

• Nếu $y<0$ thì phương trình $(2)$ vô nghiệm.
• Nếu $y$ lẻ thì $3^y \equiv -1 \pmod{4} \Rightarrow t^2 \equiv 2 \pmod{4}$, điều này vô lí.
• Nếu $y$ chẵn, đặt $y=2k \ (k \in \mathbb{N}$

• $k=0 \iff y=0$ thì $(2) \Rightarrow t^2=64 \Rightarrow t= \pm 8.$

Từ đó có các cặp nghiệm $(x,y)$ là $(-1979,0),(-1995,0)$.

• $y=2k,k>0$ thì $(2) \Rightarrow t^2=3^x(3^{2k-2}+7)$

$\Rightarrow a^2-3^{2k-2}=7$
$\Rightarrow \left( |a|+3^{k-1} \right) \left( |a|-3^{k-1} \right)=7$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |a|+3^{k-1}=7 & & \\ |a|-3^{k-1}=1 & & \end{matrix}\right.$
Từ đó suy ra $3^{k-1}=3 \Rightarrow k=2 \Rightarrow y=4.$
Ta được $x=-1999$ và $x=-1975$.

$\boxed{ \text{ Kết luận}}$. Phương trình có nghiệm $$(x,y) \in \{ (-1979,0),(-1995,0),(-1999,4),(-1975,4) \}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-01-2012 - 08:10

[nth1235]

Xin được giải lại bài 3 cho chi tiết.
Ta có :
VP = ${19}^{x}+{5}^{y}+2010z\equiv {19}^{x}\equiv ({-1})^{x}$(mod5)
Xét 2 TH
TH1 : x lẻ
VP $\equiv 4$ (mod 5)
TH2 : x chẵn
VP $\equiv 1$ (mod 5).
mà VT $\equiv 3$ (mod 5).
Suy ra phương trình vô nghiệm.