Chủ đề này có 1 trả lời

[anhuyen2000]

Tìm tất cả các số có 3 chữ số, chia hết cho 11, sao cho thương số trong phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số của số đó
Chú thích đề bài có nghĩa là: Tìm $\overline{abc}$ biết $\overline{abc}=11(a^2+b^2+c^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhuyen2000: 08-01-2012 - 14:57

[perfectstrong]

Lời giải:
\[\overline {abc} = 11\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \Rightarrow \overline {abc} \vdots 11 \Rightarrow 100a + 10b + c \vdots 11 \Rightarrow 99a + 11b + a + c - b \vdots 11 \Rightarrow a + c - b \vdots 11\]
Lại có:
\[17 \ge a + c - b \ge - 8 \Rightarrow a + c - b \in \left\{ {0;11} \right\}\]
\[\begin{array}{l}
\boxed{TH1}:a + c - b = 11 \Leftrightarrow b + 11 = a + c \\
90 \ge {a^2} + {c^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}}{2} + {b^2} = \frac{{{{\left( {b + 11} \right)}^2}}}{2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{b^2} + 22b - 59 \le 0 \\
\Leftrightarrow - 10 < \frac{{ - 11 - \sqrt {298} }}{3} \le b \le \frac{{ - 11 + \sqrt {298} }}{3} < 3 \Rightarrow b \in \left\{ {0;1;2} \right\} \\
*b = 0 \Rightarrow a = 11 - c \\
pt:\overline {a0c} = 11\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \Leftrightarrow 100a + c = 11{c^2} + 11{a^2} \Leftrightarrow 100\left( {11 - c} \right) + c = 11{c^2} + 11{\left( {11 - c} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 22{c^2} - 143c + 231 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
c = 3 \\
c = \frac{7}{2} \\
\end{array} \right. \Rightarrow c = 3 \Rightarrow a = 8 \Rightarrow \boxed{\overline {abc} = 803} \\
*b = 1 \Rightarrow a = 12 - c \\
pt:\overline {a1c} = 11\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \Leftrightarrow 100a + 10 + c = 11{c^2} + 11{a^2} \Leftrightarrow 100\left( {12 - c} \right) + 10 + c = 11{c^2} + 11{\left( {12 - c} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 22{c^2} - 165c + 374 = 0:VN{\rm{ }}c \in N \\
*b = 2 \Rightarrow a = 13 - c \\
pt:\overline {a2c} = 11\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \Leftrightarrow 100a + 20 + c = 11{c^2} + 11{a^2} \Leftrightarrow 100\left( {13 - c} \right) + 20 + c = 11{c^2} + 11{\left( {13 - c} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 22{c^2} - 187c + 539 = 0:VN{\rm{ }}c \in N \\
\boxed{TH2}:a + c - b = 0 \Leftrightarrow b = a + c \\
pt:\overline {abc} = 11\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \Leftrightarrow 100a + c + 10\left( {a + c} \right) = 11\left( {{a^2} + {c^2}} \right) + 11{\left( {a + c} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 2{a^2} + 2ac - 10a + 2{c^2} - c = 0 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2a\left( {c - 5} \right) + 2{c^2} - c = 0{\rm{ }}\left( 1 \right) \\
\Delta {'_a} = {\left( {c - 5} \right)^2} - 2\left( {2{c^2} - c} \right) = - 3{c^2} - 8c + 25 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 4 - \sqrt {91} }}{3} \le c \le \frac{{\sqrt {91} - 4}}{3} < 2 \Rightarrow c \in \left\{ {0;1} \right\} \\
*c = 0 \Rightarrow \left( 1 \right):2{a^2} - 10a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0 \\
a = 5 \\
\end{array} \right. \Rightarrow a = 5 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow \boxed{\overline {abc} = 550} \\
*c = 1 \Rightarrow \left( 1 \right):2{a^2} - 8a + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{{4 - \sqrt {14} }}{2}\not \in N \\
a = \frac{{4 + \sqrt {14} }}{2}\not \in N \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Kết luận:
\[\overline {abc} \in \left\{ {550;803} \right\}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-01-2012 - 19:11