Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Tìm nghiệm dương của phương trình:
$(x^3+y^3)+4(x^2+y^2)+4(x+y)=16xy$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Văn Bảo Kiên: 10-01-2012 - 18:09

[perfectstrong]

Lời giải:
\[\begin{array}{l}
s = x + y > 0;p = xy > 0 \\
pt \Leftrightarrow {s^3} - 3sp + 4{s^2} - 8p + 4s = 16p \\
\Leftrightarrow {s^3} + 4{s^2} + 4s = 24p + 3sp = p\left( {24 + 3s} \right) \\
\Leftrightarrow p = \frac{1}{3}.\frac{{{s^3} + 4{s^2} + 4s}}{{s + 8}} = \frac{1}{3}\left( {{s^2} - 4s + 36 - \frac{{288}}{{s + 8}}} \right) = \frac{{{s^2} - 4s + 36}}{3} - \frac{{96}}{{s + 8}} \in N \\
\Rightarrow s + 8|96 \\
s + 8 \ge 2 + 8 = 10 \Rightarrow s + 8 \in \left\{ {12;24;48;96;16;32} \right\} \Rightarrow s \in \left\{ {4;16;40;88;8;24} \right\} \\
*s = 4 \Rightarrow p = 4 \Rightarrow x = y = 2:True \\
*s = 8 \Rightarrow p = \frac{{50}}{3}:False \\
*s = 16 \Rightarrow p = 72 \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \emptyset \\
*s = 24 \Rightarrow p = 169 \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \emptyset \\
*s = 40 \Rightarrow p = 490 \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \emptyset \\
*s = 88 \Rightarrow p = 2475 \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \emptyset \\
\end{array}\]

[duchanh1911]

$(x+y)^{3}-3xy(x+y)+4((x+y)^{2}-2xy))+4(x+y)=16xy $
$ \Rightarrow (x+y)^{2}-3xy+4(x+y)+4=\frac{24xy}{x+y} $
$ \Rightarrow(x+y+2)^{2}=xy(\frac{24}{x+y}+3)(1) $
đên đây thì suy ra rằng 24 chia hết cho (x+y) hay (x+y) là ước của 24 và phải thỏa mãn (1).
(Chú ý rằng Vế trái phải là số chính phương)

$ \Rightarrow x+y=\left \{ 1;2;3;4;6;8;12;24\left. \right \} \right. $
$ If: x+y=1 \overset{(1)}{\rightarrow} xy=\frac{9}{27} \Rightarrow False $
$ If: x+y=2 \overset{(1)}{\rightarrow} xy=\frac{16}{25}\Rightarrow False $
$ If: x+y=3 \overset{(1)}{\rightarrow} xy=\frac{25}{11} \Rightarrow False $
$ If: x+y=4 \overset{(1)}{\rightarrow} xy=4 \Rightarrow x=2;y=2 (Nhận) $
$ If: x+y=6 \overset{(1)}{\rightarrow} xy=\frac{64}{7} \Rightarrow False $
$ If: x+y=12 \overset{(1)}{\rightarrow} xy=\frac{196}{5} \Rightarrow False $
$ If: x+y=24 \overset{(1)}{\rightarrow} xy=169 \Rightarrow False $
Kết Luận: Phương trình có 1 nghiệm nguyên duy nhất là (2;2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duchanh1911: 12-01-2012 - 14:40

[Zaraki]

Tìm nghiệm dương của phương trình:
$(x^3+y^3)+4(x^2+y^2)+4(x+y)=16xy \qquad (1)$

Một lời giải ngắn gọn hơn cả.
Lời giải. Ta có $(1) \Leftrightarrow x(x+2)^2+y(y+2)^2=16xy$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì $$x(x+2)^2+y(y+2)^2 \ge 8x^2+8y^2 \ge 16xy$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 05-01-2013 - 14:46