Chủ đề này có 5 trả lời

[Zaraki]

Chứng minh rằng phương trình $$6{y^3} + 12x{y^2} + 6{x^2}y + ({x^3} - x) = 0$$ không thể có nghiệm nguyên dạng $(4k, y)$ hoặc $(9k, y)$, $k\neq 0$

[loigiailanhlung]

Chứng minh rằng phương trình $$6{y^3} + 12x{y^2} + 6{x^2}y + ({x^3} - x) = 0$$ không thể có nghiệm nguyên dạng $(4k, y)$ hoặc $(9k, y)$, $k\neq 0$

Lời giải:
Từ pt $\Rightarrow x|6y^3$
Phản chứng,giả sử x=4k hoặc 9k
a)$x|y^3$
Đặt $y^3=m.x,m\in\mathbb{Z}$ pt $\Leftrightarrow 6m+12y^2+6xy+x^2-1=0$
Coi pt là ẩn y,có nghiệm nguyên khi $\Delta'$là số chính phương$$\Leftrightarrow -3x^2+12-72m=t^2,t\in\mathbb{Z}(1)$$
Coi pt là ẩn x,ta cũng $\Rightarrow -3y^2-6m+1=z^2,z\in\mathbb{Z}(2)$
TH1:x=3k
Từ (1)$\Rightarrow t^2$chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9(VL)
TH2:x=4k
Từ (2)$\Rightarrow 1-6m=z^2+3y^2$
Từ (1)$\Rightarrow 6|t$ nên ta đặt t=6v,$v\in\mathbb{Z}$
Thay 2 đk trên vào (1)$\Rightarrow 4k^2+3v^2=z^2+3y^2(3)$
$x|y^3 \Rightarrow$y chẵn $\Rightarrow$z lẻ
Từ (3) nếu $(2k)^2$chia hết cho 3 thì z chia hết cho 3(VL do(2))
$\Rightarrow(2k)^2=3u+1$,thay vào (1)$\Rightarrow -u-2=v^2$nên v chẵn
Từ (3),xét tính chẵn lẻ $\Rightarrow$VL,ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 12-06-2015 - 11:53

[chanhquocnghiem]

Theo em nghĩ thì có thể thay 9k thành 3k.
Lời giải:
Từ pt $\Rightarrow x|y^3$
Đặt $y^3=m.x,m\in\mathbb{Z}$ pt $\Leftrightarrow 6m+12y^2+6xy+x^2-1=0$
Coi pt là ẩn y,có nghiệm nguyên khi $\Delta'$là số chính phương$$\Leftrightarrow -3x^2+12-72m=t^2,t\in\mathbb{Z}(1)$$
Coi pt là ẩn x,ta cũng $\Rightarrow -3y^2-6m+1=z^2,z\in\mathbb{Z}(2)$
Phản chứng:
TH1:x=3k
Từ (1)$\Rightarrow t^2$chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9(VL)

Phương trình vẫn có nghiệm nguyên dạng $(3k,y)$.Ví dụ $x=3$ ; $y=-4$.

[loigiailanhlung]

Phương trình vẫn có nghiệm nguyên dạng $(3k,y)$.Ví dụ $x=3$ ; $y=-4$.

Mình nhầm ,đề bài đúng,mình đã sửa rồi nhưng còn thiếu trường hợp b) $x|2.y^3$ & $x|3y^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 12-06-2015 - 12:52

[chanhquocnghiem]

Chứng minh rằng phương trình $$6{y^3} + 12x{y^2} + 6{x^2}y + ({x^3} - x) = 0$$ không thể có nghiệm nguyên dạng $(4k, y)$ hoặc $(9k, y)$, $k\neq 0$

Phương trình đã cho có thể viết lại : $6y(x+y)^2+x^3-x=0$ (*)

Dễ thấy rằng (*) có nghiệm $(4k,a)$ (hoặc $(9k,b)$) ($a,b$ nguyên) KHI VÀ CHỈ KHI nó cũng có nghiệm $(-4k,-a)$ (hoặc $(-9k,-b)$).Do đó ta chỉ cần chứng minh (*) không có nghiệm nguyên dạng $(4k,y)$ và $(9k,y)$ với $\mathbf{k\in \mathbb{N}^*}$

$a)$

Giả sử (*) có nghiệm nguyên $(4k,y)$ với $k\in \mathbb{N}^*$ (tức là $x\in \mathbb{N}^*$)

Vì $x^3-x$ là số dương và chia hết cho $4$ nên $y$ là số âm và chẵn (vì nếu $y$ lẻ thì $6y(x+y)^2$ không chia hết cho $4$)

$6y(x+y)^2$ chia hết cho $y$ $\Rightarrow x\ \vdots\ y$

Cũng vì $x^3-x$ dương nên $y\neq -x$.Vậy $x\ \vdots\ y$ và $-x< y< 0$

$y$ và $x+y$ chẵn $\Rightarrow 6y(x+y)^2\ \vdots\ 48\Rightarrow x\ \vdots\ 48\Rightarrow x=48p$ ($p\in \mathbb{N}^*$)

(*) $\Leftrightarrow -6\left | y \right |\left ( 48p-\left | y \right | \right )^2+(48p)^3-48p=0\Leftrightarrow (48p)^3-48p=6\left | y \right |(48p-\left | y \right |)^2$ (1)

$(48p)^3-48p\geqslant (48p)^3-48p^3=110544p^3$ (2)

$6\left | y \right |(48p-\left | y \right |)^2=3.2\left | y \right |(48p-\left | y \right |)^2\leqslant 3.(32p)^3=98304p^3$ (3)

(2),(3) $\Rightarrow$ (1) vô nghiệm $\Rightarrow$ (*) vô nghiệm.

 

$b)$

Giả sử (*) có nghiệm nguyên $(9k,y)$ với $k\in \mathbb{N}^*$ (tức là $x\in \mathbb{N}^*$)

Vì $x^3-x$ là số dương và chia hết cho $9$ nên $y$ là số âm và chia hết cho $3$ (vì nếu không thì $6y(x+y)^2$ không chia hết cho $9$)

$6y(x+y)^2$ chia hết cho $y$ $\Rightarrow x\ \vdots\ y$

Cũng vì $x^3-x$ dương nên $y\neq -x$.Vậy $x\ \vdots\ y$ và $-x< y< 0$

$y$ và $x+y$ chia hết cho $3 \Rightarrow 6y(x+y)^2\ \vdots\ 162\Rightarrow x\ \vdots\ 162\Rightarrow x=162q$ ($q\in \mathbb{N}^*$)

(*) $\Leftrightarrow -6\left | y \right |\left ( 162q-\left | y \right | \right )^2+(162q)^3-162q=0\Leftrightarrow (162q)^3-162q=6\left | y \right |(162q-\left | y \right |)^2$ (4)

$(162q)^3-162q\geqslant (162q)^3-162q^3=4251366q^3$ (5)

$6\left | y \right |(162q-\left | y \right |)^2=3.2\left | y \right |(162q-\left | y \right |)^2\leqslant 3.(108q)^3=3779136q^3$ (6)

(5),(6) $\Rightarrow$ (4) vô nghiệm $\Rightarrow$ (*) vô nghiệm.

 

Như vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên có dạng $(4k,y)$ và $(9k,y)$ với $k\neq 0$.

[loigiailanhlung]

(*) $\Leftrightarrow -6\left | y \right |\left ( 48p-\left | y \right | \right )^2+(48p)^3-48p=0$

$y\leq 0$hay sao mà bạn thay bằng -$\left | y \right |$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 14-06-2015 - 16:20