Chủ đề này có 6 trả lời

[Phạm Hữu Bảo Chung]

ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG THPT KỲ LÂM NĂM 2011 - 2012

Môn thi: Toán 10 - Thời gian: 150 phút

Câu 1. Giải các phương trình:
a, $\sqrt{x} + \sqrt[4]{17 - x^2} = 3$
b, $1 + x - 2x^2 = \sqrt{4x^2 - 1} - \sqrt{2x + 1}$

Câu 2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}xy + y^2 + x = 7y\\\dfrac{x^2}{y} + x = 12\end{array}\right.$

Câu 3. Xét tất cả các tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c $ sao cho a < b và $f(x) \geq 0 \forall x$. Tìm GTNN:
$$M = \dfrac{a + b + c}{b - a}$$

Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ cho A(-2; -1), B(2; -4)
a, Tìm tọa độ điểm C trên Ox sao cho vecto OA và vecto CB cùng phương.
b, Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho $\widehat{MBA} = 45^{o}$

Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c sao cho a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} \geq 30$

[Ispectorgadget]

Câu 5:

Bài 35:Từ giả thiết ta có $ab+bc+ca\leq \dfrac{1}{3}$
$A=\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{3ab}+\dfrac{1}{3bc}+\dfrac{1}{3ca}+\dfrac{2}{3}(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca})$
$\Rightarrow A\geq \dfrac{16}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)}+\dfrac{6}{ab+bc+ca}\ge \dfrac{16}{1+ab+bc+ca}+\dfrac{6}{ab+bc+ca}\geq \dfrac{16}{1+\dfrac{1}{3}}+\dfrac{6}{\dfrac{1}{3}}= 30$
Min A=30 khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Câu 4:
Làm trước ý a
Do C nằm trên Ox do đó $C(x;0)$
vector OA(-2;-1)
vector CB(2-x;-4)
Vector OA và CB cùng phương $\Leftrightarrow \frac{-2+x}{2}+4\Leftrightarrow x=10$
Vậy C có toạ độ (10;0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-01-2012 - 22:05

[hxthanh]

...
Câu 3

. Xét tất cả các tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c $ sao cho a < b và $f(x) \geq 0 \forall x$. Tìm GTNN:

$$M = \dfrac{a + b + c}{b - a}$$

Theo điều kiện đề bài thì $ax^2+bx+c\ge 0\;\;\forall x$, suy ra:

$\begin{cases}\Delta=b^2-4ac\le 0\;\;(1) \\ b>a>0\;\;(2)\end{cases}$

$M=\dfrac{a+b+c}{b-a}=\dfrac{1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}{\frac{b}{a}-1}$

Đặt $p=\dfrac{b}{a};\;\;q=\dfrac{c}{a}$ Từ (1) suy ra: $q\ge \dfrac{p^2}{4}$. Còn từ (2) suy ra $p-1>0$

Do đó: $M= \dfrac{1+p+q}{p-1}\ge \dfrac{4+\frac{p^2}{4}+p-3}{p-1}\ge \dfrac{2p+p-3}{p-1}=3$ (Theo BĐT AM-GM)

Dấu bằng xảy ra khi $q=\dfrac{p^2}{4}=4\Rightarrow p=q=4 \Rightarrow b=c=4a$

Vậy $\min(M)=3$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 3. Xét tất cả các tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c $ sao cho a < b và $f(x) \geq 0 \forall x$. Tìm GTNN:
$$M = \dfrac{a + b + c}{b - a}$$

Cô giáo dạy Toán giải cho bọn em theo cách này, mọi người tham khảo nhé.

Giải

Do $f(x) = ax^2 + bx + c \geq 0 \,\forall x$ nên:

$f(-2) = 4a - 2b + c \geq 0$

$\Leftrightarrow a + b + c + 3(a - b) \geq 0 \Leftrightarrow a + b + c \geq 3(b - a) \,\,\,\, (I)$

Ta thấy: a < b, do đó b - a > 0. Chia hai vế của (I) cho (b - a), ta có:

$\dfrac{a + b + c}{b - a} \geq 3 \Rightarrow Min_{M} = 3$

Dấu "=" xảy ra khi $f(- 2) = 0 \Leftrightarrow 4a - 2b + c = 0 \, (a < b) $

[nthoangcute]

Câu 1. Giải các phương trình:
a, $\sqrt{x} + \sqrt[4]{17 - x^2} = 3$
b, $1 + x - 2x^2 = \sqrt{4x^2 - 1} - \sqrt{2x + 1}$

a) Đặt $\sqrt{x}=y$
Suy ra $\sqrt[4]{17-y^4}=3-y$
Suy ra $17-y^4=(3-y)^4$
Suy ra $2(y-1)(y-2)(y^2-3y+16)=0$
Suy ra $x \in \{1,4\}$
b) $1 + x - 2x^2 = \sqrt{4x^2 - 1} - \sqrt{2x + 1}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{4x^2 - 1} - \sqrt{2x + 1})(\sqrt{4x^2 - 1} + \sqrt{2x + 1}+2)=0$
$\Leftrightarrow x\in \{1, -\frac{1}{2} \}$

[nthoangcute]

Câu 2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}xy + y^2 + x = 7y\\\dfrac{x^2}{y} + x = 12\end{array}\right.$

Từ giả thiết ta có:
$(x+y-4)(x-4y)=(x^2+xy-12y)-4(xy+y^2+x-7y)=0$
Suy ra ...

[chagtraife]

Câu 3. Xét tất cả các tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c $ sao cho a < b và $f(x) \geq 0 \forall x$. Tìm GTNN:
$$M = \dfrac{a + b + c}{b - a}$$

câu này giống đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh bình định 2010-2011 quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chagtraife: 11-09-2012 - 09:45