Chủ đề này có 3 trả lời

[MyLoVeForYouNMT]

Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên lẻ a mà $a^2\leq n$ thì n chia hết cho a.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 15-01-2012 - 18:53

[nguyenta98]

Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên lẻ a mà $a^2\leq n$ thì n chia hết cho a.

Giải như sau:
Chú ý ở đây ta chỉ xét $a>0$ vì nếu $a<0$ thì $a^2$ vẫn thế ta không bàn cãi
Xét $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45$ <1> suy ra đúng (chú ý các số $a$ lẻ thỏa mãn <1> là $1,3,5$
Nếu $n>25$ suy ra $a>5$
Giả sử $a=2k+1$ và $a^2$ là số chính phương lớn nhất mà $\le n$
Suy ra $(2k+1)^2\le n\le (2k+2)^2$ <2>
Vì $a>5 \rightarrow 2k-1,2k-3>0$
Lại có $(2k-3)^2<(2k-1)^2<(2k+1)^2\le n^2\le (2k+2)^2$
Do vậy $2k-3|n, 2k-1|n, 2k+1|n$
Lại có $gcd(2k+1,2k-1)=gcd(2k+1,2)=1$ (thuật toán $Eclude$)
Tương tự $gcd(2k-1,2k-3)=gcd(2k-1,2)=1$ và $gcd(2k+1,2k-3)=gcd(2k+1,4)=1$
Như vậy $2k+1,2k-1,2k-3$ nguyên tố cùng nhau đôi một hay $(2k+1)(2k-1)(2k-3)|n$ điều này suy ra $n\geq (2k+1)(2k-1)(2k-3)\geq (2k+2)^2$ (do $a>5$) mâu thuẫn với <2>
Vậy $\boxed{n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-01-2012 - 00:21

[duc12116]

Tại sao lại có (2k+1)^2 <= n <= (2k+2)^2    (2) ? Ai giải thích hộ em đi

[duc12116]

Em nghĩ phải đặt giả thiết n< (2k+3)^2 rồi chứng minh n>= (2k+3)^2

Các mod thong cảm em chưa chỉnh được mathtype!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duc12116: 27-06-2013 - 07:30