Chủ đề này có 6 trả lời

[supermath197]

Tìm nghiệm nguyên của hệ pt

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=3\\x^{3}+y^{3}+z^{3}=3
\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermath197: 19-01-2012 - 15:42

[supermath197]

Nhân tiện cho hỏi chút:
Nếu $a\leq b\leq c$ mà $a\leq x\leq c$ thì có suy ra đc b=x không ??

[kelangthang]

Nhân tiện cho hỏi chút:
Nếu $a\leq b\leq c$ mà $a\leq x\leq c$ thì có suy ra đc b=x không ??

Cái dưới chắc ăn k được r`
Vd (a,b,c)=(1,3,4)
(a,x,c)=(1,2,4)

[Crystal]

Tìm nghiệm nguyên của hệ pt

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=3\\x^{3}+y^{3}+z^{3}=3
\end{matrix}\right.$

Ta có hằng đẳng thức: ${(x + y + z)^3} - ({x^3} + {y^3} + {z^3}) = 3(x + y)(y + z)(z + x)$

Do đó: $27 - 3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) \Leftrightarrow 8 = (x + y)(y + z)(x + z)$

Đặt $x + y = c, y + z = a, z + x = b$. Ta có: $abc = 8 \Rightarrow a,b,c \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\} $

Giả sử $x \leqslant y \leqslant z$ thì $a \geqslant b \geqslant c$. Ta có: $a + b + c = 2(x + y + z) = 6$ nên $a \geqslant 2$.

* Với $a = 2$ ta có $\left\{ \begin{gathered}
b + c = 4 \\
bc = 4 \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow b = c = 2 \Rightarrow x = y = z = 1$

* Với $a = 4$ ta có $\left\{ \begin{gathered}
b + c = 2 \\
bc = 2 \\
\end{gathered} \right.\,\,\text{không có nghiệm nguyên}$

* Với $a = 8$ ta có $\left\{ \begin{gathered}
b + c = - 2 \\
bc = 1 \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow b = c = - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = y = 4 \\
z = - 5 \\
\end{gathered} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {x;y;z} \right) = \left\{ {\left( {1;1;1} \right),\left( {4;4; - 5} \right),\left( {4; - 5;4} \right),\left( { - 5;4;4} \right)} \right\}$

[Crystal]

Nhân tiện cho hỏi chút:
Nếu $a\leq b\leq c$ mà $a\leq x\leq c$ thì có suy ra đc b=x không ??

Điều này thì hoàn toàn không chính xác. Như bạn kelangthang đã nói

[henry0905]

Suy được tới (x+y)(y+z)(z+x)=8
$\Rightarrow$ (3-x)(3-y)(3-z)=8
$\Rightarrow$ Trong 3 số (3-x),(3-y),(3-z) có 1 số chãn hoặc 3 số cùng chẵn
$\Rightarrow$ 8$\equiv$ 8(-1)(-1)=2.2.2=8.1.1=2(-2)(-2)
x,y,z có vai trò tương đương nhau nên mỗi trường hợp chỉ xét 1 lần

[NLT]

Điều này thì hoàn toàn không chính xác. Như bạn kelangthang đã nói

Suy được tới (x+y)(y+z)(z+x)=8
$\Rightarrow$ (3-x)(3-y)(3-z)=8
$\Rightarrow$ Trong 3 số (3-x),(3-y),(3-z) có 1 số chãn hoặc 3 số cùng chẵn
$\Rightarrow$ 8$\equiv$ 8(-1)(-1)=2.2.2=8.1.1=2(-2)(-2)
x,y,z có vai trò tương đương nhau nên mỗi trường hợp chỉ xét 1 lần

Cái dưới chắc ăn k được r`
Vd (a,b,c)=(1,3,4)
(a,x,c)=(1,2,4)

Nhân tiện cho hỏi chút:
Nếu $a\leq b\leq c$ mà $a\leq x\leq c$ thì có suy ra đc b=x không ??

$P/S$: Mời các bạn,anh,chị xem bài tương tự tại đây . Liệu lời giải của anh Thành - $xusinst$ - có giải được bài này không, và lời giải tổng quát của bài toán là gì ? Mọi người cùng thảo luận nhé !
-------------