Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm 3 số nguyên khác nhau đôi một sao cho: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z )^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
supermath197

supermath197

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
Tìm 3 số nguyên dương khác nhau đôi một sao cho: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z )^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-03-2012 - 23:10
chủ bài viết chấp nhận sửa


#2
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Mình sẽ giải bài này, nhưng mình thấy đề bài sai thì phải, hoặc là mình không chứng minh được Trường hợp này:
+nếu x, y, z có 1 số nhỏ hoặc bằng 0 thì mình thấy đề bài có vô số nghiệm. VD nghiệm (x, y, z)=(k, - k, 0)
+nếu x, y, z > 0, mình sẽ CM trường hợp này:
_____________________________________________________
Xét x, y, z > 0
Vì $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^2$
Ta có BĐT $x^3+y^3+z^3 \geq (\frac{a+b+c}{3})^3$
Từ đó suy ra $x+y+z \leq 9$
Mà $x, y, z$ là các số nguyên dương mà x, y, z đôi một khác nhau nên $x+y+z \geq 6$
Mà $x+y+z \leq 9$
Từ đó $x+y+z$ =6 hoặc 7 hoặc 8 hoặc 9
Xét $x+y+z \leq 8$, ta có $x^3+y^3+z^3 \leq 64$ suy ra $x^3 <64$ suy ra x=3 hoặc 2 hoặc 1, từ đó tìm được x, y, z
Xét $x+y+z=9$, theo BĐT ta có $x=y=z=3$ (không thỏa mãn)

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#3
mathsvn

mathsvn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
Mình đồng ý với trường hợp đầu, nhưng trường hợp sau minh nghĩ pt có nghiệm (1;2;3) và hoán vị của chúng. Mình giải như sau:

Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử x < y < z.
Áp dụng bất đẳng thức như trên thì ta được:
Với mọi x, y, z ≥ 0 ta suy ra x + y + z ≤ 9.
Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau.
Vậy x + y + z ≤ 8. (1)
Mặt khác: x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra x+y+z$\epsilon${6;7;8}
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x, y, z
Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 08-03-2012 - 20:57


#4
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Mình đồng ý với trường hợp đầu, nhưng trường hợp sau minh nghĩ pt có nghiệm (1;2;3) và hoán vị của chúng. Mình giải như sau:

Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử x < y < z.
Áp dụng bất đẳng thức như trên thì ta được:
Với mọi x, y, z ≥ 0 ta suy ra x + y + z ≤ 9.
Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau.
Vậy x + y + z ≤ 8. (1)
Mặt khác: x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra x+y+z$\epsilon${6;7;8}
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x, y, z
Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này

Không phải vì vấn đề đó, mình nghĩ đề sai hoặc là mình còn làm thiếu 1 trường hợp
_______________________________________________________________________
Bạn có thể làm được Trường hợp $x, y, z \leq 0$ không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 08-03-2012 - 21:04

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh