Chủ đề này có 2 trả lời

[sherry Ai]

Có tồn tại hay không số nguyên dương k sao cho $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.

___
MOD: Vui lòng gửi bài đúng box bài này là số học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-01-2012 - 16:11

[perfectstrong]

Lời giải:
Nhận xét: 1 số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1; chia 5 dư 0; 1 hoặc -1.
Đặt $S=2^k+3^k$
Nếu $k=1;2$ thì rõ ràng S không chính phương.
Nếu $k \geq 3 \Rightarrow 4|2^k$.
Nếu $k$ lẻ thì $S \equiv 0+(-1)^k \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow$ S không chính phương.
Nếu $k$ chẵn. Đặt $k=2x \Rightarrow S=4^x+9^x$
Nếu $x$ lẻ thì $S \equiv (-1)^x+(-1)^x \equiv 3 \pmod 5 \Rightarrow$ S không chính phương.
Nếu $x$ chẵn thì $S \equiv (-1)^x+(-1)^x \equiv 2 \pmod 5 \Rightarrow$ S không chính phương.
Do đó, S không chính phương trong mọi TH.

C2:
Xét 4 TH $k=4x;k=4x+1;k=4x+2;k=4x+3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-01-2012 - 21:35

[trinhhoangdung123456]

Lời giải:
Nhận xét: 1 số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1; chia 5 dư 0; 1 hoặc -1.
Đặt $S=2^k+3^k$
Nếu $k=1;2$ thì rõ ràng S không chính phương.
Nếu $k \geq 3 \Rightarrow 4|2^k$.
Nếu $k$ lẻ thì $S \equiv 0+(-1)^k \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow$ S không chính phương.
Nếu $k$ chẵn. Đặt $k=2x \Rightarrow S=4^x+9^x$
Nếu $x$ lẻ thì $S \equiv (-1)^x+(-1)^x \equiv 3 \pmod 5 \Rightarrow$ S không chính phương.
Nếu $x$ chẵn thì $S \equiv (-1)^x+(-1)^x \equiv 2 \pmod 5 \Rightarrow$ S không chính phương.
Do đó, S không chính phương trong mọi TH.

C2:
Xét 4 TH $k=4x;k=4x+1;k=4x+2;k=4x+3$

Anh ơi, em làm thế này có đúng không ?

                                                                                          Bài làm

• Bổ đề 1: Số chính phương không thể có tận cùng là 2; 3; 7; 8.
• Bổ đề 2: Số chính phương chia cho 3 không thể có số dư là 2. (Tự chứng minh 2 bổ đề trên)

           Giả sử tồn tại $k\epsilon \mathbb{N};n\neq 0$ sao cho $2^{k}+3^{k}$  là số chính phương.

         Đặt k=4t+r với $t\epsilon \mathbb{N}$, $r\epsilon {{0;1;2;3}}$  thì số đang xét có dạng:

                     A=$2^{k}+3^{k}=2^{4t+r}+3^{4t+r}=16^{t}.2^{r}+81^{t}.3^{r}$

          Xét 4 trường hợp sau:

• TH1:Với r=0 thì A có tận cùng là 7, trái với bổ đề 1.
• TH2:Với r=2 thì A có tận cùng là 3, trái với bổ đề 1.
• TH3: Với r=1 thì A chia cho 3 dư 2, trái với bổ đề 2.
• TH4: Với r=3 thì A chia cho 3 dư 2, trái với bổ đề 2.

           Vậy không tồn tại số nguyên dương k nào để số A=$2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.