Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Dang Do]

Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $ 1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 26-01-2012 - 18:30

[nguyenta98]

Giải như sau:
Nếu $x<0$ thì
$x<0$ thì $1+2^x+2^{2x+1}<4$ (do $2^x;2^{2x+1}<1$)
Suy ra $y^2<4$ nên $y=1;-1$ suy ra $y^2=1$ do vậy $2^x+2^{2x+1}=0$ Vô lý
Nếu $x=0$ thì $y=2,-2$
Nếu $x\geq 1$
$1+2^x+2^{2x+1}=y^2$ do vậy $y$ lẻ nên $y=2k+1$
Suy ra $1+2^x+2^{2x+1}=(2k+1)^2 \leftrightarrow 2^{x-2}+2^{2k-1}=k^2+k$ nên
TH1: $k$ chẵn
Đặt $k=2^h.t$ (với $t$ lẻ) suy ra $2^{x-2}(2^{x+1}+1)=2^h.t(2^h.t+1)$ Lại thấy $t,2^h.t+1$ lẻ nên suy ra $2^h=2^{x-2}$
Suy ra $h=x-2$
Do vậy
$$2^{x+1}+1=2^h.t^2+t \leftrightarrow 2^{x+1}+1=2^{x-2}.t^2+t \leftrightarrow 2^{x+1}=2^{x-2}.t^2+(t-1)$$
$$\leftrightarrow 2^{x+1}-2^{x-2}=(t-1)(t+1)2^{x-2}+(t-1) \leftrightarrow 2^{x-2}.7=(t-1)[(t+1)2^{x-2}+1]$$
Ta thấy $(t+1)2^{x-2}+1$ lẻ nên $(t+1)2^{x-2}+1=7$ suy ra $(t+1)2^{x-2}=6$
Th1 nhỏ: $2^{x-2}=1$ suy ra $x=2$ thay vào thấy loại
Th2 nhỏ: $2^{x-2}=2$ suy ra $x=3$ thay vào cũng loại
Do vậy $x\geq 1$ thì đều loại.
TH2: $k+1$ chẵn hay $k$ lẻ khi đó $2^{x-2}+2^{2x-1}=k(k+1) \rightarrow k+1=2^p.q$ với $q$ lẻ
Mặt khác $2^{x-2}+2^{2x-1}=2^{x-2}(2^{x+1}+1) \rightarrow 2^p=2^{x-2} \rightarrow p=x-2$
Như vậy $q(2^{x-2}.q-1)=2^{x+1}+1 \rightarrow 2^{x-2}q^2-q=2^{x+1}+1 \rightarrow 2^{x-2}.(q-1)(q+1)-(q+1)=2^{x-2}.7 \rightarrow (2^{x-2}(q-1)-1)(q+1)=2^{x-2}.7$
Nhận thấy $2^{x-2}(q-1)-1$ lẻ nên $2^{x-2}(q-1)-1=7 \rightarrow 2^{x-2}(q-1)=8$
Đến đây xét $2^{x-2}=1,2,4,8$ tương ứng $q=8,4,2,1$ thử vào là ra
Vậy $\boxed{(x,y)=(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-04-2013 - 23:25

[barcavodich]

Cách trình bày hơi dài 

Mình xin làm cách khác

Nếu $x<0$ dễ thấy vô lí

Nếu $x=0$ ta có nghiệm $ (0,\pm2) $

Nếu $x>0$ KMTTQ giả sử $y>0$

Phương trình có thể viết lại $2^x(1+2^{x+1})=(y-1)(y+1)$

Từ đây $\Rightarrow y=2^{x-1}m+\epsilon$($m$ lẻ và $\epsilon =\pm1$)

Do đó phương trình tương đương $2^{x-2}(m^2-8)=1-\epsilon m$

Dễ thấy $$m\geq 3,\epsilon =-1$

Lại có $2(m^2-8)\leq 1+m\rightarrow m=3$

Nên $(4,23)$ là $1$ nghiệm 

Do đó tất cả các nghiệm là $ (0,\pm2) $ và $ (4,\pm23) $