Chủ đề này có 6 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ THI HSG TPHCM NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (4 điểm) Thu gọn các biểu thức
a) $A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$
b) $B=(\frac{a\sqrt{a}-3}{a-2\sqrt{a}-3}-\frac{2(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}+3}{3-\sqrt{a}}): (\frac{a+8}{a-1})$ với $a\geq 0;a\neq 9$

Bài 2: (4 điểm)
Cho phương trình $(m+3)x^2-3(m+2)x+(m+2)(m+4)=0$
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có nghiệm.

Bài 3: (3 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{x+2-3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2+3\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}$
b) $\sqrt{x+x^2}+\sqrt{x-x^2}=x+1$

Bài 4: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng không có số nguyên x,y,z nào thỏa mãn:
$4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$
b) Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}$$

Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A,đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính R với R < AH. Từ B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (A;R) với M là tiếp điểm. Đường thẳng HM cắt đường tròn (A;R) tại điểm thứ nhì là N.
a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MAN đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến của đường tròn (A).

Bài 6: (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi E, F, G,H lần lượt là hình chiếu của I trên AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH ngoại tiếp một đường tròn.


___
Ngồi rảnh không có gì làm post cho anh em tham khảo
Đề này tương đối dễ.

[hoangtrong2305]

Bài 3: (3 điểm)
Giải các phương trình sau:
b) $\sqrt{x+x^2}+\sqrt{x-x^2}=x+1$

$\sqrt{x+x^2}+\sqrt{x-x^2}=x+1$
ĐK: $\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ 0\leq x\leq 1 \end{matrix}\right.$

Bình phương 2 vế, ta được:

$2x+2\sqrt{(x+x^{2})(x-x^{2})}=x^{2}+2x+1$

<=> $2x\sqrt{1-x^{2}}=x^{2}+1$

<=> $4x^{2}-4x^{4}=x^{4}+2x^{2}+1$

<=> $-5x^{4}+2x^{2}-1=0$

Đây là dạng pt trùng phương

$\Delta =2^{2}-4.(-5).(-1)=-16< 0$

=> PTVN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 27-01-2012 - 09:07

[Zaraki]

Bài 4: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng không có số nguyên x,y,z nào thỏa mãn:
$4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$

Lời giải.
$$\begin{array}{l} 4x^2 + 4x = 8y^3 - 2z^2 +4 \\ \Leftrightarrow 4x^2 + 4x + 1 = 8y^3 - 2z^2 + 5 \\ \Leftrightarrow (2x + 1)^2 = 8y^3 + 2z^2 + 5 \end{array}$$
Nhận thấy VT là số chính phương lẻ nên $(2x+1)^2 \equiv 1 \pmod{8} \text{ } (*)$.
Xét $VP=8y^3+2z^2+5$.

• Với $z \vdots 2 \Rightarrow 2z^2 \vdots 8 \Rightarrow VP \equiv 5 \pmod{8}$, mâu thuẫn với $(*)$.
• Với $z=2k+1 \Rightarrow 2z^2 \equiv 2 \pmod{8} \Rightarrow VP \equiv 7 \pmod{8}$ với $k$ lẻ, $\equiv 5 \pmod{8}$ với $k$ chẵn; mâu thuẫn với $(1)$.

$\boxed{\text{Kết luận}}$. Không tồn tại số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 27-01-2012 - 10:19

[thedragonknight]

$\sqrt{x+x^2}+\sqrt{x-x^2}=x+1$
ĐK: $\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ 0\leq x\leq 1 \end{matrix}\right.$

Bình phương 2 vế, ta được:

$2x+2\sqrt{(x+x^{2})(x-x^{2})}=x^{2}+2x+1$

<=> $2x\sqrt{1-x^{2}}=x^{2}+1$

<=> $4x^{2}-4x^{4}=x^{4}+2x^{2}+1$

<=> $-5x^{4}+2x^{2}-1=0$

Đây là dạng pt trùng phương

$\Delta =2^{2}-4.(-5).(-1)=-16< 0$

=> PTVN

Mình xin giải cách khác:
Theo BDT Cauchy ta có:
$\sqrt{x+x^{2}}.1+\sqrt{x-x^{2}}.1\leq \frac{x+x^{2}+1}{2}+\frac{x-x^{2}+1}{2}=x+1$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $x^{2}+x-1=0$ và $x-x^{2}-1=0$
vậy Phương trình vô nghiệm

[thedragonknight]

Bài 4b:
Ta có $VT\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}=1$
Dấu = xảy ra khi x=y=z$=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 27-01-2012 - 11:03

[ducthinh26032011]

ĐỀ THI HSG TPHCM NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: (4 điểm) Thu gọn các biểu thức
a) $A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$
b) $B=(\frac{a\sqrt{a}-3}{a-2\sqrt{a}-3}-\frac{2(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}+3}{3-\sqrt{a}}): (\frac{a+8}{a-1})$ với $a\geq 0;a\neq 9$

Bài 2: (4 điểm)
Cho phương trình $(m+3)x^2-3(m+2)x+(m+2)(m+4)=0$
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có nghiệm.

Bài 3: (3 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{x+2-3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2+3\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}$
b) $\sqrt{x+x^2}+\sqrt{x-x^2}=x+1$

Bài 4: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng không có số nguyên x,y,z nào thỏa mãn:
$4x^2+4x=8y^3-2z^2+4$
b) Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}$$

Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A,đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính R với R < AH. Từ B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (A;R) với M là tiếp điểm. Đường thẳng HM cắt đường tròn (A;R) tại điểm thứ nhì là N.
a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MAN đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến của đường tròn (A).

Bài 6: (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi E, F, G,H lần lượt là hình chiếu của I trên AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH ngoại tiếp một đường tròn.


___
Ngồi rảnh không có gì làm post cho anh em tham khảo
Đề này tương đối dễ.

4a/ Ta có: 2x²+2x=4y³-z²+2
VT chia hết cho 2.Suy ra:z² chia hết cho 2;z² chia hết cho 4
Ta lại có:VT=2x(x+1) chia hết cho 4
nên VP chia hết cho 4
mà 2 không chia hết cho 4
nên không có số nguyên x,y,z nào thỏa mãn

[Zaraki]

Bài 4a đã có tại http://diendantoanho...showtopic=67223 .